Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

Answer 1

Разделим и умножим первое выражение на $\sqrt{ (\sqrt{2})^2+1 } = \sqrt{3}$. Получим:
$\sqrt{3} (\sqrt{ \frac{2}{3} }cos \beta - \frac{ \sqrt{3} }{3} sin \beta)$
√(2/3)<1 и (√(3)/3)<1 причем √(2/3)²+(√(3)/3)²=1 значит числа √(3)/3 и √(2/3) - синус и косинус некоего угла α. Поэтому можем записать:
$\sqrt{3} (\sqrt{ \frac{2}{3} }cos \beta - \frac{ \sqrt{3} }{3} sin \beta)=\sqrt{3} ({cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta)= \sqrt{3} cos( \alpha + \beta ) \\$
Теперь очевидно, что раз -1≤cos(α+β)≤1, то наименьшее значение нашего выражения -√3, а наибольшее √3.
Точно также решается второй пример. В принципе подобное можно устно решать. Ясно, что такие выражения принимают значения от -√(x²+y²) до √(x²+y²), где x и y коэффициенты перед слагаемыми.