Question

Докажите, что для любого натурального n верно равенство: а) n! + (n+1)! = n! (n+2) б) (n-1)! + n! + (n+1)! = (n+1)²(n-1)! в) (n+1)! / (n-1)! = n² + n

Answer 1

A)
$n! + (n+1)! =n!+(n+1)n!=n!(1+(n+1))=n!(n+2)$

б)
$(n-1)!+n!+(n+1)!=(n-1)!+n(n-1)!+n(n+1)(n-1)!=\\(n-1)![1+n+n(n+1)]=(n-1)!(n^2+2n+1)=\\(n-1)!(n+1)^2$

в)
$\frac{(n+1)!}{(n-1)!}= \frac{n(n+1)(n-1)!}{(n-1)!}=n(n+1)=n^2+n$

Всего лишь надо знать свойства факториала:
$n!=1*2*3*4...*n=n*(n-1)*(n-2)...*2*1$
Отсюда:
$n!=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!=n(n-1)(n-2)...*(n-k)!$