А) cos(2x-pi/3) < -1/2 2pi/3 + 2pi n < 2x-pi/3 < 4pi/3 + 2pi n pi + 2pi n < 2x < 5pi/3 + 2pi n pi/2 + pi n < x < 5pi/6 + pi n ответ: (pi/2 + pi*n; 5pi/6 + pi*n ), n ∈ Z.
б) sinx + sin 5x = sin 3x 2sin 3x * cos 2x - sin 3x = 0 sin 3x (2cos 2x - 1) = 0
Далее совокупность:
sin 3x = 0 cos 2x = 1/2
3x = pi*n 2x = +-pi/3 + 2pi*k
x = pi*n/3 x = +-pi/6 + pi*k
ответ: x = pi*n/3, n ∈ Z; x = +-pi/6 + pi*k, k ∈ Z.
Используем формулу косинуса двойного угла cos2x=1-2sin²x и преобразуем неравенство к виду |18sin²x+6(a-2)sinx-2a-5|≤9 или -9≤18sin²x+6(a-2)sinx-2a-5≤9 Если неравенство должно быть выполнено для всех x, то значит в частности и для x=0 оно должно быть верным. Если x=0, то и sinx=0. Подставим 0 в неравенство: -9≤18*0+6(а-2)*0-2а-5≤9 -9≤2а+5≤9 -7≤a≤2 - мы получили первое ограничение на а. Пусть теперь x=π/2: -9≤18+6(a-2)-2a-5≤9 -5/2≤a≤2 - мы еще больше ограничили множество возможных значений а, но это мало что дало. А если x=3π/2? Тогда -9≤18-6(a-2)-2a-5≤9 2≤a≤17/4 Вот теперь повезло. В самом деле, если а<2, то неравенство не будет верным для x=3π/2, а если a>2, то для x=0 и π/2, между тем нам надо чтобы оно выполнялось для любого x, а отсюда следует что подходит только а=2. Остается проверить эту двойку: |9cos2x-6(2-2) sinx+2*2-4| ≤ 9 9|cos2x|≤9 |cos2x|≤1 Очевидно, что неравенство верно для всех х, а значит двойка нам подходит. ответ: а=2. Вообще обычно такие примеры решаются более сложными методами. Здесь просто все сложилось удачно.
Мотри: пусть х - это кол-во деталей за 1 день.То есть 1день - х деталей В условии сказано,что во второй день он изготовил в 3 раза больше,т.е. 2 день - 3х деталей. А всего он изготовил 172 детали за 1 и 2 дни вместе.
Составляем уравнение: 1день +2 день = 172 Следовательно, х+3х =172. Решаем: х+3х=172 4х = 172 х = 43 ответ: 43 детали (спрашивали в первый день,поэтому на 3 не умножаем)
С уравнениями тоже всё просто. 1) 5-2х = 0 -2х= -5 (при переносе знак меняется) Делим на (-2) х = 5/2
2) 5- 6х = 0,3 - 5х Переносим числа с "х" в левую сторону,а остальное - направо Получается: -6х+5х = 0,3 - 5 -х= -4,7 х = 4,7
2pi/3 + 2pi n < 2x-pi/3 < 4pi/3 + 2pi n
pi + 2pi n < 2x < 5pi/3 + 2pi n
pi/2 + pi n < x < 5pi/6 + pi n
ответ: (pi/2 + pi*n; 5pi/6 + pi*n ), n ∈ Z.
б) sinx + sin 5x = sin 3x
2sin 3x * cos 2x - sin 3x = 0
sin 3x (2cos 2x - 1) = 0
Далее совокупность:
sin 3x = 0
cos 2x = 1/2
3x = pi*n
2x = +-pi/3 + 2pi*k
x = pi*n/3
x = +-pi/6 + pi*k
ответ:
x = pi*n/3, n ∈ Z;
x = +-pi/6 + pi*k, k ∈ Z.