1) Если n=0, то решений нет. Если n≠0, то x=-5/n. Т.к. 5 - простое число, т.е. имеет всего два натуральных делителя 1 и 5, то число -5/n будет натуральным, только в случае n=-1 или n=-5. ответ: n∈{-5;-1}
2) Если n=6, то решений нет. Если n≠6, то x=25/(n-6) будет натуральным, только в случае n-6∈{1;5;25} т.к. 25=5², т.е. имеет только три натуральных делителя 1, 5 и 25. Если n-6=1, то n=7, если n-6=5, то n=11, если n-6=25, то n=31. Итак ответ: n∈{7;11;31}.
1) Ставим 1 том первым. Вторым может быть любой, кроме 4. Это 4 варианта. Остальные 4 тома ставим как угодно. Это 24 варианта. Всего 24*4 = 96 вариантов. 2) Ставим 1 том вторым. Первый - любой, кроме 4. Это 4 варианта. Третьим - тоже любой оставшийся, кроме 4. Это 3 варианта. Остальные 3 тома как угодно. Это 6 вариантов. Всего 4*3*6 = 72 варианта. 3) Ставим 1 том третьим. Первый - какой угодно, это 5 вариантов. Второй - любой, кроме 4. Это 3 варианта. Четвертый - тоже любой, кроме 4. Это 2 варианта. Пятый и шестой - какие угодно. Это 2 варианта. Всего 5*3*2*2 = 60 вариантов. 4) Ставим 1 том четвертым. Это аналогично 3). 60 вариантов. 5) Ставим 1 том пятым. Это аналогично 2). 72 варианта. 6) Ставим 1 том последним. Это аналогично 1). 96 вариантов. Итого 96 + 72 + 60 + 60 + 72 + 96 = 396 вариантов.
Пойдем от противного, предположим что существует такая дробь которая после определенного количества секунд при которых будут выполняться сказанные выше условия будет сокращаться на 11.
1. через н секунд дробь примет вид (н+1)/(3+7*н) . притом и (н+1) и (3+7*н) делятся на 11.
2. так как оба числа кратны 11, то и их разность будет кратна 11, что легко видеть так как числа отличаются на число кратное 11. Также нам не мешает домножить (н+1) на любое натурально число и вычесть из него знаменатель, при этом результат тоже будет кратен 11. Почему так: потому что домножив (н+1) на что-либо оно все равно будет делиться на 11, так как делилось на него изначально, а разность как уже было расмотренно выше тоже будет числом кратным 11.
3. опираясь на доказанное в пункте 2 умножим (н+1) на 7 и вычтем из того что получится знаменатель, т. е (3+7*н) .
7*(н+1)-(3+7*н) =7*н+7-3-7*н=7-3=4
но так же в пункте 2 было рассмотрено что результат этого должен делиться на 11, но 4 на 11 не делиться. Мы пришли к противоречию, значит конца света бояться не надо)
ответ: n∈{-5;-1}
2) Если n=6, то решений нет. Если n≠6, то x=25/(n-6) будет натуральным, только в случае n-6∈{1;5;25} т.к. 25=5², т.е. имеет только три натуральных делителя 1, 5 и 25. Если n-6=1, то n=7, если n-6=5, то n=11, если n-6=25, то n=31. Итак ответ: n∈{7;11;31}.