Question

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянным коэффициентами y''-3y'=3e^3x

Answer 1

Решение уравнения будем искать в виде $y=e^{\beta\cdot x}$.

Составим характеристическое уравнение.
 $\beta^2-3\beta=0\\ \beta_1=0;\\ \beta_2=3;$

Фундаментальную систему решений функций:
$y_1=1\\ y_2=e^{3x}$

Общее решение однородного уравнения:
 $y_{*}=y_1+y_2=C_1\cdot e^{3x}+C_2$

Теперь рассмотрим прафую часть диф. уравнения:
 $f(x)=3e^{3x}$

найдем частные решения.
Правая часть имеет вид уравнения
$P(x)=e^{\alpha x}(R(x)\cos(\gamma x)+L(x)\sin(\gamma x))$, где R(x) и S(x) - полиномы, которое имеет частное решение.

$y=x^ze^{\alpha x}(P(x)\cos(\gamma x)+S(x)\sin (\gamma x))$, где $z -$кратность корня $\alpha+\gamma i$

У нас R(x) = 3; L(x) = 0; $\alpha=3;\,\, \gamma =0$

Число $\alpha + \gamma i=3$ является корнем характеристического уравнения кратности z=1

Тогда уравнение имеет частное решение вида:
 $y=x(Ae^{3x})$
Находим 2 производные, получим
$y'=3Ax3e^{3x}+Ae^{3x}\\ y''=3Ae^{3x}(3x+2)$

И подставим эти производные в исходное диф. уравнения
$y''-3y'=3e^{3x}\\ 3Ae^{3x}=3e^{3x}\\ A=1$

Частное решение имеет вид: $y_*=xe^{3x}$

Общее решение диф. уравнения:
  $y=C_1e^{3x}+C_2+xe^{3x}$