Question

Найдите все целочисленные решения уравнения. 5х^2-8ху-4у^2=17

Answer 1

Раскладываем левую часть на множители:
$5x^2-8xy-4y^2=17 \\\ 5x^2-10xy+2xy-4y^2=17 \\\ 5x(x-2y)+2y(x-2y)=17 \\\ (x-2y)(5x+2y)=17$

Так как 17 простое число, то его можно получить перемножая числа 17 и 1; -17 и -1; 1 и 17; -1 и -17:

1.
$\left\{\begin{array}{l} x-2y=17 \\ 5x+2y=1 \end{array}$
Складываем уравнения:
$x+5x=17+1 \\\ 6x=18 \\\ \Rightarrow x=3 \\\ 3-2y=17 \\\ -2y=14 \\\ \Rightarrow y=-7$
(3; -7) - решение

2. 
$\left\{\begin{array}{l} x-2y=-17 \\ 5x+2y=-1 \end{array}$
$x+5x=-17-1 \\\ 6x=-18 \\\ \Rightarrow x=-3 \\\ -3-2y=-17 \\\ -2y=-14 \\\ \Rightarrow y=7$
(-3; 7) - решение

3.
$\left\{\begin{array}{l} x-2y=1 \\ 5x+2y=17 \end{array}$
$x+5x=1+17 \\\ 6x=18 \\\ \Rightarrow x=3 \\\ 3-2y=1 \\\ -2y=-2 \\\ \Rightarrow y=1$
(3; 1) - решение

4.
$\left\{\begin{array}{l} x-2y=-1 \\ 5x+2y=-17 \end{array}$
$x+5x=-1-17 \\\ 6x=-18 \\\ \Rightarrow x=-3 \\\ -3-2y=-1 \\\ -2y=2 \\\ \Rightarrow y=-1$
(-3; -1) - решение

ответ: (3; -7); (-3; 7); (3; 1); (-3; -1)