Решение: 1) если tgальфа =4/5? tg(альфа+ пи на3)=
=(tg(альфа)+tg(pi\3))\(1-tg(альфа)*tg(pi\3))=
(4\5+корень(3))\(1-4\5*корень(3))=(4+5*корень(3))\(5-4*корень(3))=
-1\23*(4+5*корень(3))*(5+4*корень(3))=
-1\23*(9*корень(3)+80)
2)tg(пи на 4-альфа), если tgальфа = 2/3
tg(pi\4- альфа)= (-tg(альфа)+tg(pi\4))\(1+tg(альфа)*tg(pi\4))=
=(1-2\3)\(1+2\3*1)=1\5=0.2
3)tg 5x-tg 3x/1+tg 3x tg 5x= корень из 3
tg 5x-tg 3x/1+tg 3x tg 5x=tg (5x-3x)=tg 2x=корень(3)
2х=pi\3+pi*k, где к –целое
х= pi\6+pi\2*k
4)sin 6t/cos в квадрате 3t=2*cos 3t *sin 3t\(cos^2 3t)=2*tg 3t
5)tg пи на 12= корень((1-cos 30)\(1+cos 30))=
=корень((1-корень(3)\2 \(1+корень(3)\2))=2-корень(3)
6)tg 105градусов=tg (90+15)=-tg 15=корень(3)-2
7)tg 5пи на 12=tg(pi\2-pi\12)=tg (pi\12)=tg 15=2-корень(3)
8)tg 165uhflecjd=tg(180-15)=-tg 15= корень(3)-2
9)(cos 2t/cost - sint) – sint=(cos^2 t-sin^2 t)\(cos t –sin t)-sin t=
сos t+sin t-sin t=cos t
10)sin альфа sin бета + cos (альфа + бета)=
sin альфа sin бета+ cos альфа сos бета -sin альфа sin бета=
= cos альфа сos бета
11) корень из 2cos (пи на 4 - х) -cosx=0.5
корень(2)*(сos(pi\4)*cos x+sin(pi\4)*sinx)-cos x=0.5
сos(pi\4)= sin(pi\4)=1\корень(2)
cos x+sin x-cos x=0.5
sin x=1\2
x=(-1)^k*pi\3+pi*k, где к -целое
Пусть собственная скорость лодки равна х км/ч
тогда скорость лодки по течению равна х+2 км/ч,
а скорость лодки против течения равна х-2 км/ч.
Время лодки по течению равно 14/(х+2) ч,
а время лодки против течения равно 9/(х-2) ч.
Время лодки по озеру составляет 25/х ч.
По условию, лодка на путь по озеру затратила столько же времени, сколько на путь по реке.
Составляем уравнение:
14/(х+2) + 9/(х-2) = 25/х |*x(x+2)(x-2)
14x(x-2)+9x(x+2)=25(x+2)(x-2)
14x^2-28x+9x^2+18x=25(x^2-4)
23x^2-10x=25x^2-100
2x^2+10x-100=0
x^2+5x-50=0
D=25-4*1*(-50)=25+200=225
x1=(-5+15):2=5
x2=(-5-15):2=-10<0 не подходит
ч=5(км/ч)-собственная скорость лодки
(х+1)(х+2)(х+3)(х+х+4)=24
(х+1)(х+3)·(х+2)²=12
(х²+4х+3)(х²+4х+4)=12
х²+4х+4=t
(t-1)t=12
t²-t-12=0
t1=4, t2=-3
Т.е.:
х²+4х+4=4, откуда х1=0, х2=-4 и
х²+4х+4=-3, откуда х²+4х+7=0, D/4=4-7<0,
т.е. действительных корней нет.
ответ: x∈{-4;0}.