Question

При каких значениях x из отрезка [0; 2] числа 1, -cosπx, cos2πx в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию? если их несколько, в ответе укажите сумму всех найденных значений x.

Answer 1

По свойству арифметической прогрессии: $\\ \frac{1+cos (2\pi x)}{2} =-cos( \pi x)$$cos^2 (\pi x)=-cos( \pi x) \\ cos^2 (\pi x)+cos( \pi x)=0 \\ cos( \pi x)*(cos( \pi x)+1)=0 \\ \\ cos( \pi x)=0 \\ cos( \pi x)=-1 \\ xE[0;2] \\ \\ \pi x= \frac{ \pi }{2} + \pi n,nEZ \\ \pi x= \pi +2 \pi k,kEZ \\ xE[0;2] \\ \\ x= \frac{1}{2} +n,nE Z \\ x=1+2k,kEZ \\ xE[0;2]\\$ x ∈ {1/2; 1; 3/2} ответ: 1/2 + 1 + 3/2 = 3.