Обозначим объем бассейна S, скорость наполнения первой трубой х, а второй - у. Две трубы вместе за 1 час наполнят 3/4 бассейна. Запишем это в виде уравнения (3/4)S/(x+y) =1 S/(x+y)=4/3 (x+y)/S=3/4 x/S + y/S =3/4
Если сначала первая труба наполнит 1/4 бассейна , а затем вторая при выключенной первой доведет объем до 3/4 , то на это понадобится 2,5 часа То есть первая труба наполняет 1/4 бассейна, а вторая 1/2 (1/4)S/x + (1/2)S/y=2,5
Если первую трубу включить на час . а вторую на полчаса, то они наполнят бассейн больше чем на 1/2. x+y/2>S/2
Найти S/x и S/y обозначим a=S/x и b=S/y, тогда наши уравнения упростятся 1/a + 1/b=3/4 (1/4)a + (1/2)b=2,5 1/a+1/2b>1/2 найти a и b
из первого (a+b)/ab=3/4 4(a+b)=3ab из второго уравнения a+2b=10 a=10-2b подставляем a в первое уравнение 4(10-2b+b)=3b(10-2b) 4(10-b)=3b(10-2b) 40-4b=30b-6b² 6b²-34b+40=0 D=34²-4*6*40=196 √D=14 b₁=(34-14)/12=20/12=5/3 a₁=10-2*5/3=10-10/3=(30-10)/3=20/3 b₂=(34-14)/12=48/12=4 a₂=10-2*4=2 получили 2 ответа, подстваляем в неравенство 1/a+1/2b>1/2 1/a₁+1/2b₁=3/20+(1/2)(3/5)=3/20+3/10=9/20<1/2 -не подходит 1/a₂+1/2b₂=1/2 + (1/2)(1/4)=1/2+1/8>1/2 -подходит ответ: первая труба наполняет бассейн за 2 часа, а вторая за 4 часа.
Так как n+m+k делится на 6, то n+m+n=6a, где a - некоторое целое число. Тогда n = 6a-(m+k). Подставим это в выражение n³+m³+k³: (6a-(m+k))³+m³+k³ = (6a)³-3*(6a)²(m+k)+3*(6a)(m+k)²-(m+k)³+m³+k³. Заметим, что (6a)³-3*(6a)²(m+k)+3*(6a)(m+k)² делится на 6, так как каждое из слагаемых делится на 6. Значит, надо доказать, что -(m+k)³+m³+k³ делится на 6. -(m+k)³+m³+k³=-m³-3m²k-3mk²-k³+m³+k³=-3mk(m+k) - делится на 3. Докажем, что это выражение делится и на 2. 1) Если хотя бы одно из m и k делится на 2, то mk делится на 2. 2) Если m и k нечетные, то m+k делится на 2. Таким образом, -3mk(m+k) делится на 6, а значит, n³+m³+k³ делится на 6, что и требовалось доказать.
•••••
( - 1 ; 1/3 )
- 5 • ( - 1 ) + 3 • ( 1/3 ) - 6 = 0
5 + 1 - 6 = 0
0 = 0
ДА
•••••••
( 1 ; 3 )
- 5•1 + 3•3 - 6 = 0
- 5 + 9 - 6 = 0
- 2 не равно 0
НЕТ
•••••••
( 0 ; 2 )
- 5•0 + 3•2 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0
ДА
ОТВЕТ ( - 1 , 1/3 ) ; ( 0 ; 2 )