Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
1. √3х-2, значит 3х-2≥0
Решаем: 3х≥2
х≥2/3
Обл. определения: [2/3;+ бесконечность)
2. √х-2, значит х-2≥0
Решаем: х≥2
Обл. опр.: [2;+ бесконечность)
3. Решаем неравенство:
√3х-2>√х-2
Возводим в квадрат, получаем
3х-2>х-2
3х-х>-2+2
2х>0
х>0
4. На координатную линию накладываем обл. опр. функций и наш ответ, получаем ответ: [2;+бесконечность)