∀a ∈ ℝ: {a} ∈ [0; 1) ⇒ {x} - 1 ∈ [-1; 0).
∀a ∈ ℝ: [a] ∈ ℤ ⇒ [x] + ... + [x²⁰⁰³] ∈ ℤ.
Но [x] + ... + [x²⁰⁰³] = {x} - 1. Значит, {x} - 1 ∈ ℤ ∩ [-1; 0), то есть {x} - 1 = -1, или {x} = 0 ⇔ x ∈ ℤ.
Теперь переформулируем задачу.
Найдите все целые решения уравнения x²⁰⁰³ + ... + x + 1 = 0.
По следствию из теоремы Безу целые корни многочлена должны являться делителями свободного члена. В нашем случае свободный член - 1. У него два делителя: 1 и -1. Очевидно, что 1²⁰⁰³ + ... + 1 + 1 ≠ 0, а (-1)²⁰⁰³ + ... + (-1) + 1 = 0. Значит, имеем корень, равный -1. Других целых решений, как оговаривалось ранее, нет.
ответ: x = -1.
х км/ч - собственная скорость катера;
(х + 2) км/ч - скорость катера по течению реки;
(х - 2) км/ч - скорость катера против течения реки.
16/(х + 2) ч - время прохождения катером 16 км по течению реки;
12/(х - 2) ч - время прохождения катером 12 км против течения реки.
На весь путь катер затратил (16/(х + 2) + 12/(х - 2)) ч или 5 ч.
Получается уравнение 16/(х + 2) + 12/(х - 2) = 5.
О. Д. З. х ≠ ±2;
16(х - 2) + 12(х + 2) = 5(х² - 4);
16х - 32 + 12х + 24 = 5х² - 20;
28х - 8 = 5х² - 20;
5х² - 28х - 20 + 8 = 0;
5х² - 28х - 12 = 0;
D = b² - 4ac;
D = (-28)² - 4 * 5 * (-12) = 1024; √D = 32;
x = (-b ± √D)/(2a);
x1 = (28 + 32)/(2 * 5) = 60/10 = 6 (км/ч);
х² = (28 - 32)/10 = -0,4 - скорость не может быть отрицательной.
ответ. 6 км/ч
= 14^10*(1+14^2) + (14-183)(14+183) =
= 14^10 * 197 - 169*197 = 197*(14^10-169)