Question

1) площадь прямоугольного участка равна 90м², а р=46 м. найдите ширину и длину участка. 2) гипотенуза прямоугольного треугольника равна 73 см, а разность катетов треугольника равна 7см. найдите площадь треугольника.

Answer 1

1. Площадь прямоугольника находят по формуле S = ab, a и b - стороны прямоугольника, т.е длина и ширина.

Периметр прямоугольника находят по формуле P =2(a + b), где a и b - стороны прямоугольника, т.е длина и ширина.

Т.к. по условию Р = 46 м, то a + b = Р : 2 = 46 : 2 = 23 (м).

Пусть ширина равна х м, тогда длина будет равна (23 - х) м. Т.к. по условию S = 90 м², то составим и решим уравнение

х(23 - х) = 90,

23х - х² - 90 = 0,

х² - 23х + 90 = 0,

D = (-23)² - 4 · 1 · 90 = 529 - 360 = 169 = 13²; √169 = 13.

х₁ = (23 + 13) / (2 · 1) = 36/2 = 18,

х₂ = (23 - 13) / (2 · 1) = 10/2 = 5.

Значит, если ширина 18 м, то длина будет равна 23 - 18 = 5 (м),

если же ширина будет равна 5 м, то длина будет равна 23 - 5 = 18 (м).

ответ: 5 м и 18 м.

2. Пусть  один из катетов прямоугольного треугольника равен х см, тогда второй катет будет равен (х + 7) см. Т .к. гипотенуза прямоугольного треугольника равна 73 см, то составим и решим уравнение (по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов):

х² + (х + 7)² = 73²,

х² + х² + 14х + 49 = 5329,

2х² + 14х - 5280 = 0,

х² + 7х - 2640 = 0,

D = 7² - 4 · 1 · (-2640) = 49 + 10560 = 10609; √10609 = 103.

х₁ = (-7 - 103) / (2 · 1) = -110/2 = -55 - не подходит по условию,

х₂ = (-7 + 103) / (2 · 1) = 96/2 = 48 .

Значит, один из катетов равен 48 см, а второй: 48 + 7 = 55 (см).

Т.к. площадь прямоугольного треугольника находят по формуле

S = 1/2 · ab, где a и b - его катеты, то S = 1/2 · 55 · 48 = 1320 (см²).

ответ: 1320 см².

Answer 2

№1

Пусть х - длина, а у - ширина.

Получаем:

S = x*y = 90 м²

Р = (х+у)*2 = 46 м

Составим и решим систему уравнений:

$\displaystyle\left \{ {{x*y=90} \atop {(x+y)*2=46}} \right. \\\left \{ {{x*y=90} \atop {x+y=23}} \right. \\\left \{ {{y=5} \atop {x=18}} \right.$

ИЛИ

$\displaystyle \right. \\\left \{ {{y=18} \atop {x=5}} \right.$

Значит, 18 м - длина, а 5 м - ширина ИЛИ 5 м - длина, а 18 м - ширина.

№2

Пусть a и b - катеты, а c - гипотенуза, тогда

c=73;

a-b=7;

По т.Пифагора:

a²+b²=73²

a-b=7

    ↓

a=b+7

    ↓

(b+7)²+b²=73²

    ↓

b²+14b+49+b²-73²=0

    ↓

2b²+14b-5280=0

а=2, b=14, с=-5280

D=b²-4ac=14²-4*2*(-5280)=196+42240=42436=206²

b₁=(-b+√D)/(2a)=(-14+206)/(2*2)=192/4=48

b₂=(-b-√D)/(2a)=(-14-206)/(2*2)=-220/4=-55 - не подходит, т.к меньше 0.

Итак: b=48 см, тогда

a=48+7=55  см

S=0,5×a×b=55×48×0,5=1320  см²