Доказать неравенство: а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³ Тут штука такая: надо просто помнить, что если a > b, значит, a - b > 0 Эти 2 неравенства друг без друга "жить не могут". если надо доказать 1-е, надо смотреть 2-е и наоборот. Вот, давай посмотрим: Нам надо доказать ≥. Значит, будем смотреть разность и она должна быть ≥ 0 а⁴+b⁴ - a³b - ab³ = (а⁴ - а³b) + (b⁴ - ab³)= a³(a - b) -b³(a - b) = =(a - b)(a³ - b³) = (a - b)(a - b)(a² +ab +b²) = (a - b)²(a² +ab + b²) - а это выражение всегда ≥ 0 ( первая скобка в квадрате, а во второй скобке сумма квадратов двух чисел всегда > их произведения.) , ⇒ ⇒ а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³
Многочлен 4-ой степени первый коэффициент которого 2(!) и последний 2 (!) можно представить в виде многочленов второй степени так 2y⁴+y³+4y²-y+2=(y²+Ay+1)*(2y²+Cy+2) (1) или 2y⁴+y³+4y²-y+2=(y²+Ay+2)*(2y²+Cy+1) (2)
Раскрываем скобки: 2y⁴+y³+4y²-y+2=2y⁴+(2A+C)y³+(4+AC)y²+(2A+C)y+2 Два многочлена равны, если у них одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях переменной совпадают. 2A+C=1 4+AC=4 2A+C=-1 Первая и третья строка противоречат друг другу, значит разложение (1) невозможно
2y⁴+y³+4y²-y+2=(y²+Ay+2)*(2y²+Cy+1) (2)
Раскрываем скобки: 2y⁴+y³+4y²-y+2=2y⁴+(2A+C)y³+(4+AC+1)y²+(2С+А)y+2 Два многочлена равны, если у них одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях переменной совпадают. 2A+C=1 ⇒ C=1-2A 4+AC+1=4 2С+A=-1 ⇒C= (-1-A)/2
1-2A=(-1-A)/2 2-4A=-1-A 3=3A A=1 C=-1 О т в е т. 2y⁴+y³+4y²-y+2=(y²+y+2)*(2y²-y+1)
