Question

Объясните вот это: текст из учебника: решим неравенство решение. область допустимых значений переменной определяется из условия x-1≥0 (это мне понятно, т.к. в четной степени корень есть число неотрицательное). < < < но по смыслу данного неравенство должно выполняться и условие 3-x> 0, поскольку левая его часть - арифметический корень. > > > при этих условиях обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно использовать метод возведения в квадрат. если обе части исходного неравенства возвести в кадрат, то, учитывая указанные выше условия, получим следующую систему неравенств: или многое тут ясно вроде. только вот это не получается нормально понять: но по смыслу данного неравенство должно выполняться и условие 3-x> 0, поскольку левая его часть - арифметический корень. почему 3-x < больше 0? не буду расписывать свои размышления, они есть) но не могу их к ясному и точному умозаключению.

Answer 1

Вы правильно расуждаете.
Иррациопальное неравенство   $\sqrt[2k]{f(x)}$   равносильно системе неравенств:
             $\left\{\begin{array}{c}f(x) \geq 0\\g(x)\ \textgreater \ 0\\f(x)\ \textless \ (g(x))^{2k}\end{array}\right$ 

Так как сам корень чётной степени принимает неотрицательные значения (положительные значения и ноль), то больше него может быть только положительное значение, поэтому выражение справа строго положительно. 
 
$\sqrt{x-1}\ \textless \ 3-x\; \; \Leftrightarrow \; \; \left\{\begin{array}{c}x-1 \geq 0\\3-x\ \textgreater \ 0\\x-1\ \textgreater \ (3-x)^2\end{array}\right\\\\\\ \left\{\begin{array}{c}x \geq 1\\x\ \textless \ 3\\x-1\ \textless \ 9-6x+x^2\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{c}x \geq 1\\x\ \textless \ 3\\x^2-7x+10\ \textgreater \ 0\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{cc}1 \leq x\ \textless \ 3\\(x-2)(x-5)\ \textgreater \ 0\end{array}\right. \\\\\\ \left\{\begin{array}{cc}x\in [\, 1,3)\\x\in (-\infty ,2)\cup (5,+\infty )\end{array}\right\; \; \Rightarrow \quad x\in [\, 1,2)$