Question

Иррациональное неравенство. требуется объяснение, решать ничего не надо. текст из учебника: " пример. решим иррациональное неравенство решение. область определения неравенства задаётся условием: x-1≥0, т.е. x≥1. правая часть неравенства обращается в нуль при x=3, и она отрицательна при x> 3. учитывая эти условия утверждаем, что данное неравенство равносильно совокупности двух систем: вторая система понятна мне. а вот в первой системе это условие непонятно

Answer 1

Это условие вытекает из двух условий. 
1 условие : рассматриваем случай, когда правая часть неотрицательна (положительна или ноль), ведь левая часть, неотрицательный корень, может быть больше как положительного числа, так и нуля:
     $3-x \geq 0\; \; \to \; \; x \leq 3$  .
2.Подкоренное выражение неотрицательно  $x-1\geq 0\; \; \to \; \; x\geq 1$ .
Так как неравенства должны выполняться одновременно, то пересечение этих неравенств даст:  $1\leq x\leq 3$  .

$\sqrt{f(x)} \ \textgreater \ q(x)\; \; \Leftrightarrow \; \; \left [ {{ \left \{ {{g(x) \geq 0} \atop {f(x)\ \textgreater \ g^2(x)}} \right. } \atop { \left \{ {{g(x)\ \textless \ 0} \atop {f(x) \geq 0}} \right. }} \right.$

Первую систему иногда пишут в виде  $\left \{ {{g(x) \geq 0,\; f(x) \geq 0} \atop {f(x)\ \textgreater \ g^2(x)}} \right.$ . Но $f(x)\geq 0$ фактически лишнее неравенство, оно выполняется автоматически потому, что $f(x)g^2(x)\geq 0$  , ибо полный квадрат всегда неотрицателен.