Question

2cos^2x - sinx - 1=0 знаю, что нужно использовать формулы понижения степени, но в конечно ответе всё равно получатся какая-то ерунда

Answer 1

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x+\cos^2x=1$ выразим $\cos^2x$, т.е. $\cos^2x=1-\sin^2x$. Подставив в исходное уравнение, получим $2(1-\sin^2x)-\sin x-1=0$. Раскрывая скобки и упрощая в левой части уравнения, мы придем к следующему уравнению $-2\sin^2x-\sin x+1=0$. Для удобства умножим обе части на (-1), получаем $2\sin^2x+\sin x-1=0$.

Произведем замену. Пусть $\sin x=t$, при условии, что $|t| \leq 1$, получим $2t^2+t-1=0$.
$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=9$
$t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1+3}{2\cdot2} = \dfrac{1}{2} ;\\ t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1-3}{2\cdot2}=-1$

Сделаем обратную замену.
$\sin x= \dfrac{1}{2}$  откуда  $x_1=(-1)^n\cdot \dfrac{\pi}{6} +\pi n,n \in Z$
$\sin x=-1$  откуда  $x_2=- \dfrac{\pi}{2}+2 \pi n,n \in Z$

ответ: x₁=(-1)ⁿ·π/6 + πn, x₂ = -π/2 + 2πn, где n - целые числа.