Воспользуемся методом индукции: 1) При n=1: 6+20-1=25 - делится. 2) Пусть при n=k - делится. 3) Надо доказать, что при n=k+1 тоже делится. Подставляем вместо n k+1:
Sin3x√(4-x²)=0 ОДЗ: -2≤x≤2 1)√(4-x²)=0 4-x²=0 x²=4 x=+-2 2)sin3x=0 3x=πn x=πn/3 решаем систему из двух неравенств: πn/3≥-2 и πn/3≤2 а)πn/3≥-2 πn≥-6 n≥-6/π б)πn/3≤2 πn≤6 n≤6/π подставив π≈3 получим n>-2(именно знак ">", потому что π на самом деле больше 3) и n<2 поскольку nεZ, то n=-1;0;1. по сути корней будет 2+3=5, но чтобы точно ответить на этот вопрос, нам надо убедиться, что нет совпадающих корней(просто мы не считали корни уравнения sin3x=0, мы посчитали только количество их при заданном ОДЗ). в этом легко убедиться, зная что π - иррациональное число, и поэтому при умножении на него целого числа мы получим иррациональное число(никак не 2 и -2). итак, всего корней 5.
1) При n=1: 6+20-1=25 - делится.
2) Пусть при n=k - делится.
3) Надо доказать, что при n=k+1 тоже делится. Подставляем вместо n k+1:
6^(k+1) + 20(k+1) -1 =
6*6^k + 20k + 20 - 1 = (вычетом и прибавим 6^k)
6*6^k + 20k + 20 - 1+ 6^k - 6^k = (сгруппируем слагаемые следующим образом)
(6^k + 20k - 1) + ( 6*6^k + 20 - 6^k).
(6^k + 20k - 1) - делится на 25 по второму пункту. Осталось доказать, что ( 6*6^k + 20 - 6^k) тоже делится на 25.
6*6^k + 20 - 6^k = 6^k * (6 - 1) + 20 = 5 * 6^k + 20 = 5 * (6^k+4). Т. к. (6^k+4) делится на 5 для любого натурального k, то утверждение доказано.