3 в степени 1 = 3 3 в степени 2 = 9 3 в степени 3 = 27 3 в степени 4 = 81 3 в степени 5 = 243 - снова заканчивается на 3. Получился цикл из 4-х окончаний.
Для целого числа n 3 в степени 4n заканчивается на 1 3 в степени 4n+1 заканчивается на 3 3 в степени 4n+2 заканчивается на 9 3 в степени 4n+3 заканчивается на 7
Букв у нас 10, 3 буквы А, по 2 буквы М и Т, и по одной Е, И и К. На первую позицию можно ставить одну из десяти букв, на вторую, одну из девяти и т.д. Получим: 10! Найдём количество которыми можно составить слово математика из данного набора букв при учёте позиции той или иной буквы. Е, И и К могут занимать только одну позицию, а вот А, М и Т можно менять местами. Для М и Т это будет 2! и 2!, для А – 3! С учётом порядка позиции их будет: Тогда вероятность (согласно классическому определению):
Попробуем другой, более простой Перестановки с повторением. Всего у нас Перестановка с повторением, которая даёт нам слово "Математика" всего одна, потому мы получаем вероятность:
В итоге, мы получили произведение трёх подряд идущих чисел, среди которых обязательно найдётся хотя бы одно чётное число и число делящееся на три. Следовательно, произведение трёх подряд идущих чисел будет кратно 6. Т.к. итоговое произведение получено из исходного многочлена путём равносильных преобразований, то делаем вывод: многочлен а³+3а²+2а кратен числу 6.
3²=9,
3³=27 (последняя цифра равна 7),
3⁴=81 (последняя цифра равна 1)
3⁵=243 (последняя цифра равна 3),
3⁶=729 (последняя цифра равна 9),
3⁷=2187 (последняя цифра равна 7),
3⁸=6561 (последняя цифра равна 1)
и т.д.
видна закономерность последних цифр степеней тройки -
3,9,7,1, далее повтор такой же четвёрки цифр 3,9,7,1
100:4 =25 - целое число без остатка
Следовательно, последняя цифра числа 3¹⁰⁰ равна 1.
ответ: 1