Нам дана функция f(x) = x^2 - 4x + 6 и прямая y = 4x + 7. Нам нужно составить уравнение касательной к графику функции f(x), которая будет параллельна прямой y = 4x + 7.
1. Для того чтобы найти уравнение касательной, мы должны найти производную функции f(x) и использовать его значение как угловой коэффициент касательной линии.
2. Найдем производную функции f(x). Для этого применим правило дифференцирования каждого члена функции по отдельности:
f'(x) = (d/dx)(x^2) - (d/dx)(4x) + (d/dx)(6)
3. Посчитаем производную каждого члена:
f'(x) = 2x - 4
4. Теперь мы знаем, что производная функции f(x) равна 2x - 4. Угловой коэффициент касательной линии будет равен этому значению.
5. У нас также есть информация о параллельной прямой y = 4x + 7. Из этого уравнения можно увидеть, что угловой коэффициент этой прямой равен 4.
6. Так как мы ищем касательную линию, которая является параллельной прямой y = 4x + 7, угловые коэффициенты этих двух линий должны быть равны.
7. Следовательно, угловой коэффициент касательной линии равен 4. У нас уже есть формула для производной функции f(x): f'(x) = 2x - 4.
8. Используя равенство угловых коэффициентов, мы можем записать следующее уравнение:
2x - 4 = 4
9. Теперь решим это уравнение:
2x - 4 = 4
2x = 4 + 4
2x = 8
x = 8 / 2
x = 4
10. Мы нашли значение x, которое соответствует точке касания. Для того чтобы найти значение y, мы можем использовать исходное уравнение f(x) = x^2 - 4x + 6:
f(4) = 4^2 - 4 * 4 + 6
f(4) = 16 - 16 + 6
f(4) = 6
11. Таким образом, точка касания касательной и графика функции f(x) имеет координаты (4, 6).
12. Нам осталось составить уравнение касательной линии, используя найденные координаты и угловой коэффициент 4. Мы можем использовать уравнение прямой вида y = mx + c, где m - угловой коэффициент, а c - свободный член.
13. Вставим значения x, y и m в уравнение:
y = 4x + c
6 = 4 * 4 + c
6 = 16 + c
c = 6 - 16
c = -10
14. Таким образом, уравнение касательной линии имеет вид y = 4x - 10.
Итак, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^2 - 4x + 6, параллельной прямой y = 4x + 7, имеет вид y = 4x - 10.
Конечно, я готов выступить в роли школьного учителя и помочь вам с решением этой задачи.
Сначала давайте разберемся с формулой уравнения кардиоиды. Уравнение кардиоиды имеет вид:
r = a(1 + cos(θ))
где:
- r - расстояние от начала координат до точки;
- a - коэффициент, который влияет на размеры фигуры;
- θ - угол между положительным направлением оси Х и радиус-вектором от начала координат до точки.
В нашей задаче дано r = 3(1 + cos(ф)).
Теперь нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой.
Для вычисления площади, ограниченной кривой, мы можем воспользоваться интегралом площади. Формула для нахождения площади фигуры в полярных координатах имеет вид:
S = 0.5 * ∫[θ1, θ2] (r^2) dθ
где:
- S - площадь фигуры;
- θ1 и θ2 - начальный и конечный углы, ограничивающие фигуру;
- r - функция, задающая кривую;
- dθ - элемент дуги окружности.
В этой задаче у нас задана функция r = 3(1 + cos(ф)). Давайте найдем значения θ1 и θ2, которые ограничивают фигуру.
Так как формула r = 3(1 + cos(ф)) задает кардиоиду, она ограничена от 0 до 2π. Значит, θ1 = 0, а θ2 = 2π.
Теперь мы можем подставить значения в формулу интеграла площади:
S = 0.5 * ∫[0, 2π] (3(1 + cos(ф))^2) dф
Давайте продолжим решение и вычислим этот интеграл.
S = 0.5 * ∫[0, 2π] (9(1 + 2cos(ф) + cos^2(ф))) dф
Раскроем скобки и упростим выражение:
S = 0.5 * ∫[0, 2π] (9 + 18cos(ф) + 9cos^2(ф)) dф
Сначала возьмем интеграл от константы 9:
S = 0.5 * [9ф] [0, 2π]
Теперь возьмем интеграл от 18cos(ф):
S = 0.5 * [18sin(ф)] [0, 2π]
Наконец, возьмем интеграл от 9cos^2(ф):
S = 0.5 * [9(ф/2 + sin(2ф)/4)] [0, 2π]
Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
