Question

Разложите на множетели: 1)a^4-b^4 2)a^6-b^6 3)a^8-b^8 4)a^4+a^3+a+1 5) (a+b)^3-(a-b)^3 6) (a+b)^4-(a-b)^4

Answer 1

$1)\quad a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)\\\\2)\quad a^6-b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^2)=\\\\=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)\\\\3)\; \; a^8-b^8=(a^4-b^4)(a^4+b^4)=\\\\=(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2(a^4+b^4)\\\\4)\; \; a^4+a^3+a+1=a^3(a+1)+(a+1)=(a+1)(a^3+1)=\\\\=(a+1)(a+1)(a^2-a+1)=(a+1)^2(a^2-a+1)\\\\5)\; \; (a+b)^3-(a-b)^3=\\\\=\Big((a+b)-(a-b)\Big)\Big ((a+b)^2+(a+b)(a-b)+(a-b)^2\Big)=\\\\=2b(a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2)\\\\=2b\cdot (2a^2+2b^2+a^2-b^2)=2b\cdot (3a^2+b^2)$

$6)\; \; (a+b)^4-(a-b)^4=\\\\=\Big ((a+b)^2-(a+b)^2\Big )\Big ((a+b)^2+(a-b)^2\Big)=\\\\=\Big((a+b)-(a-b)\Big )\Big((a+b)+(a-b)\Big)\Big(a^2+2ab+b^2+\\\\+a^2-2ab+b^2\Big)=2b\cdot 2a\cdot (2a^2+2b^2)=8ab\cdot (a^2+b^2)$