Question

Решите ращвернуто : 2sin^2 x-cosx-1=0 при [3π; 4π]

Answer 1

$2sin^{2}x - cosx - 1 = 0$
$2 - 2cos ^{2}x - cosx - 1 = 0$
$-2cos^{2}x - cosx + 1 = 0$
$2cos ^{2} + cosx - 1 = 0$
Пусть $t = cosx$, t ∈ [-1; 1].
$2t^{2} + t - 1 = 0$
$D = 1 + 2*4 = 9 = 3^{2}$
$t _{1} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
$t _{2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
Обратная замена:
$cosx = \frac{1}{2}$
x = ±$\frac{ \pi }{3} + 2 \pi n$, n ∈ Z
$cosx = -1$
$x = \pi + 2\pi n$, n ∈ Z.
При x ∈ [3π; 4π]
3π ≤± $\frac{ \pi }{3} + 2 \pi n$ ≤ 4π (умножим на 3 и разделим на π)
9 ≤ ±1 + 6n ≤ 12
При n ∈ Z, n = 2. Тогда x = $- \frac{ \pi }{3} + 2*2 \pi = 4 \pi - \frac{ \pi }{3} = \frac{11 \pi }{3}$
Теперь найдем корни для второго уравнения:
3π ≤ π + 2πn ≤ 4π (разделим на π)
3 ≤ 1 + 2n ≤ 4
2 ≤ 2n ≤ 3
При n ∈ Z n = 1.
Тогда $x = \pi + 2 \pi = 3 \pi$
ответ: $x= 3 \pi; \frac{11 \pi }{3}.$