Для начала заметим, что в первом уравнении системы обе части строго положительны, поскольку степень положительного числа - всегда число положительное, что мы и видим. Значит, я могу прологарифмировать обе части данного равенства. Со вторым равенством поступим аналогично. Почему же здесь обе части положительны? Это происходит вследствие того, что x и y всегда положительны(поскольку иначе быть не может из-за того, что они входят под знаком логарифма в первом равенстве). Значит, основания степеней положительны, а потому, и степени положительны. Поэтому имеем право прологарифмировать обе части. Сделаем это. При этом будем использовать свойства логарифмов.
Напомню, что в процессе мы использовали то, что степень выражения под логарифмом я могу спустить и сделать его множителем.
Теперь введём замену переменных. Пусть lg (3x) = u, lg(5y) = v. Выразим сами логарифмы lg x и lg y через эти переменные. Для этого используем правило логарифма произведения: lg(3x) = lg3 + lg x, откуда lg x = lg(3x) - lg3 = u - lg3 Аналогично, lg(5y) = lg5 + lg y, откуда lg y = lg(5y) - lg 5 = v - lg5 Теперь подставляем это в нашу систему:
Теперь решаем эту систему. Она заметно проще предыдущей. Как решаем? Обычным путём выражения одной переменной через другую. Допустим, выразим u через v из второго уравнения и подставим в первое.
Далее производим подстановочку в первое уравнение, которое упрощаем обычными средствами:
Сразу находим, что и u = 0. Далее возвращаемся к обычным переменным: lg(3x) = 0, откуда и lg(5y) = 0, откуда
1) Упорядочим ряд оценок по возрастанию 3, 3, 4, 4, 5. Размах ряда - это разность между наибольшим и наименьшим значением: размах = 5 -3 = 2 Медиана упорядоченного ряда - это число, которое стоит посередине. медиана = 4 4 - 2 = 2 ответ: на 2.
2) Пусть смешали x кг 10 %-ного раствора соли и y кг 25 %-ного раствора соли. По условию задачи получили 30 кг 20 %-ного раствора. Получим систему уравнений:
0,1x + 0,25y = 0,2(x + y) x + y = 30
0,1x + 0,1y + 0,15y = 0,2·30 x + y = 30
0,1(x + y) + 0,15y = 6 x + y = 30
0,1·30 + 0,15y = 6 x + y = 30
3 + 0,15y = 6 x + y = 30
0,15y = 3 x + y = 30
y = 20 x = 10 Значит, было 10 кг первого раствора. ответ: 10 кг.
3) y = b x² + y² = 9
Второе уравнение представляет собой уравнение окружности. Чтобы данная система имела одно решение, необходимо, чтобы прямая y = b касалась окружности. Т.к. уравнение окружности имеет вид (x - a)² + (y - b)² = r², то координаты центра равны (0; 0), а r = 3. Прямая y = b параллельна оси Ox, значит, касаться она будет в двух точках - (0; -3) и (0; 3). Значит, b = -3 и 3. ответ: при b = -3 и 3.
и 
