Question

Решить систему дифференциальных уравнений: {x` = x + 2y, {y` = 4x - y

Answer 1

Выразим x из 2 уравнения
$x= \frac{dy}{4dt}+ \frac{y}{4}$
продифференцируем его по t
$\frac{dx}{dt} = \frac{d^2y}{4dt^2} + \frac{dy}{4dt}$
подставим эти 2 выражения в 1 уравнение системы и упростим насколько можно
$\frac{d^2y}{4dt^2} +\frac{dy}{4dt} =\frac{dy}{4dt}+\frac{y}{4}+2y$
$\frac{d^2y}{4dt^2} - \frac{9y}{4}=0$
$\frac{d^2y}{dt^2} - 9y=0$
получилось уравнение 2 порядка
для него делается характеристическое уравнение и оно решается
$k^2-9=0$
$k_1=3 ;k_2=-3$
$y(t)=C_1e^{3t }+C_2e^{-3t }$
одну функцию нашли, осталась x(t)
у(t) продифференцируем, затем подставим ее и ее производную в 2 уравнение и найдем x(t)
$y'(t)=3C_1e^{3t }-3C_2e^{-3t }$
$x= \frac{dy}{4dt}+ \frac{y}{4}$
$\frac{3C_1e^{3t }-3C_2e^{-3t } }{4} + \frac{C_1e^{3t }+C_2e^{-3t }}{4}$
$x=C_1e^{3t}- \frac{C_2e^{-3t}}{2}$