Question

Вычилить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2x-x^2

Answer 1

Сначала нужно построить графики функции. А вообще говоря, при построении функций в задачах на площадь нас больше всего важны точки пересечения линий. Для этого найдем точки пересечения графиков.
$x^2=2x-x^2\\ 2x^2-2x=0\\ 2x(x-1)=0\\ x_1=0\\ x_2=1$
Если на отрезке $[a;b]$ $f(x) \geq g(x)$, где $f(x),g(x)\,\,\,-$ непрерывные функции, то площадь фигуры ограниченной графиками  функций и прямыми $x=a,\,\,\, x=b$, можно найти по формуле:
   $\int\limits^b_a {(f(x)-g(x))} \, dx$
В данном случае:
$\int\limits^1_0 {(2x-x^2-x^2)} \, dx = \int\limits^1_0 {(2x-2x^2)} \, dx =\left (2\cdot \dfrac{x^2}{2} - 2\cdot \dfrac{x^3}{3} \right)|^1_0=$
$=1- \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$ кв.ед.

ответ: $S= \dfrac{1}{3}$ кв.ед.