Question

Выражение (tg^2(2a)-ctg^2(2a))/ 4 ctg(4a)

Answer 1

(tg²2a-1/tg²2a):4/tg4a=(tg^4(2a)-1)/tg²2a*tg4a/4=
=(tg²2a-1)(tg²2a+1)*2tg2a/4(1-tg²2a)=-(tg²2a+1)/2=-1/2cos²2a

Answer 2

Для решения данного выражения, необходимо применить некоторые математические тождества и формулы.

1. Начнем с раскрытия квадрата тангенса и котангенса:
tg^2(x) = (sin(x))^2 / (cos(x))^2
ctg^2(x) = (cos(x))^2 / (sin(x))^2

2. Применим эти тождества к нашему выражению:
(tg^2(2a)-ctg^2(2a))/ 4 ctg(4a)
=> [(sin(2a))^2 / (cos(2a))^2 - (cos(2a))^2 / (sin(2a))^2] / 4 * (cos(4a))^2 / (sin(4a))^2

Теперь в числителе у нас есть два слагаемых, которые имеют общий знаменатель (sin^2(2a) * cos^2(2a)). Можно объединить эти два слагаемых в одно и выполнить вычитание:
([(sin(2a))^2 * (sin(2a))^2 - (cos(2a))^2 * (cos(2a))^2] / (sin(2a))^2 * (cos(2a))^2) / 4 * (cos(4a))^2 / (sin(4a))^2
=> [(sin^4(2a) - cos^4(2a))] / (sin^2(2a) * cos^2(2a)) / 4 * (cos(4a))^2 / (sin(4a))^2

3. Далее применим формулу разности квадратов для числителя:
[(sin^2(2a) - cos^2(2a)) * (sin^2(2a) + cos^2(2a))] / (sin^2(2a) * cos^2(2a)) / 4 * (cos(4a))^2 / (sin(4a))^2
=> [(sin^2(2a) - cos^2(2a)) * 1] / (sin^2(2a) * cos^2(2a)) / 4 * (cos(4a))^2 / (sin(4a))^2

В числителе мы получили (sin^2(2a) - cos^2(2a)) * 1, заметим, что это является формулой тангенса двойного угла.
tg(2a) = (2 * tg(a)) / (1 - tg^2(a))

Подставим это в наше выражение:
[tg(2a) * 1] / (sin^2(2a) * cos^2(2a)) / 4 * (cos(4a))^2 / (sin(4a))^2
=> [tg(2a)] / (sin^2(2a) * cos^2(2a)) / 4 * (cos(4a))^2 / (sin(4a))^2

4. Далее применим формулу тангенса двойного угла к числителю:
tg(2a) = (2 * tg(a)) / (1 - tg^2(a))
=> [2 * tg(a)] / (1 - tg^2(a)) / (sin^2(2a) * cos^2(2a)) / 4 * (cos(4a))^2 / (sin(4a))^2

5. Теперь рассмотрим знаменатель:
По формуле ctg(x) = 1 / tg(x), можем заменить ctg(4a) на 1 / tg(4a):
[2 * tg(a)] / (1 - tg^2(a)) / (sin^2(2a) * cos^2(2a)) / 4 * (cos(4a))^2 / (sin(4a))^2 * (1 / tg(4a))

6. Для удобства дальнейшего рассмотрения, перепишем число 4 в виде его квадрата:
4 = 2^2

[2 * tg(a)] / (1 - tg^2(a)) / (sin^2(2a) * cos^2(2a)) / (2^2 * ctg^2(4a)) * (1 / tg(4a))

7. Заметим, что ctg^2(4a) можно заменить на (cos^2(4a) / sin^2(4a)), используя формулу ctg(x) = 1 / tg(x):
[2 * tg(a)] / (1 - tg^2(a)) / (sin^2(2a) * cos^2(2a)) / (2^2 * (cos^2(4a) / sin^2(4a))) * (1 / tg(4a))

Теперь, давайте приведем выражение к общему знаменателю и приведем числитель к наименованию:
[2 * tg(a) * sin^2(4a)] / (1 - tg^2(a)) / (2^2 * sin^2(4a) * sin^2(2a) * cos^2(2a) * cos^2(4a)) * (1 / tg(4a))

8. Приведем числитель и знаменатель к наименованию:
[2 * tg(a) * sin^2(4a)] / [(1 - tg^2(a)) * (2^2 * sin^2(4a) * sin^2(2a) * cos^2(2a) * cos^2(4a))] * (1 / tg(4a))

Заметим, что sin^2(4a) упрощается в числителе и знаменателе, а также 2 упрощается в числителе и знаменателе:
[tg(a) * 1] / [(1 - tg^2(a)) * sin^2(2a) * cos^2(2a) * cos^2(4a)] * (1 / tg(4a))

Теперь, заменим sin^2(2a) и cos^2(2a) на их соответствующие формулы:
[tg(a) * 1] / [(1 - tg^2(a)) * (1 - tg^2(a)) * cos^2(4a)] * (1 / tg(4a))

Также, достаточно заметить, что tg(a) / tg(4a) - это просто tg(a - 4a), поэтому можем заменить tg(a) / tg(4a) на tg(a - 4a):
[tg(a - 4a) * 1] / [(1 - tg^2(a)) * (1 - tg^2(a)) * cos^2(4a)]`

Упростим числитель путем применения формулы тангенса разности:
[tg(a - 4a)] / [(1 - tg^2(a)) * (1 - tg^2(a)) * cos^2(4a)]

В итоге, окончательный ответ:
[tg(a - 4a)] / [(1 - tg^2(a)) * (1 - tg^2(a)) * cos^2(4a)]