Question

Найти общее решение дифференциального уравнения 2yy''=(y')^2

Answer 1

Итак, в данном уравнении отсутствует аргумент х, поэтому алгоритм действий будет следующим:
1) заменим y' на функцию, зависящую от у: y'=z(y)
2) найдем 2-ю производную этой функции: y''=(z(y))'=z'(y)*y'
3) учитывая, что y'=z(y), то y''=z'(y)*z(y)
4) заменим все, что можем и найдем решение

$2y* \frac{dz}{dy} *z=z^2$
$\frac{dz}{dy} =\frac{z}{2y}$
$\frac{dz}{z} =\frac{dy}{2y}$
$ln z=ln\sqrt{y}+C$
$ln z= {ln C\sqrt{y}}$
$z=C_1\sqrt{y}$

Проведем обратную замену

$y'=C_1\sqrt{y}$
$\frac{dy}{dx} =C_1\sqrt{y}$
$\frac{dy}{\sqrt{y}}=C_1dx$
$2 \sqrt{y} =C_1x+C_2$
$\sqrt{y} =\frac {C_1x+C_2}{2}$
$y =(\frac {C_1x+C_2}{2})^2$