Question

Решите уравнение f'(x)=0 1) f(x)=sin^2x-sinx+5 2) f(x)=3 cosx + 4sinx - 5z

Answer 1

$1)\ f(x)=sinx*sinx-sinx+5\\f^`(x)=sinx\cdot cosx+cosx\cdot sinx-cosx=2sinx\cdot cosx-cosx=\\=cosx(2sinx-1),\ f^`(x)=0\\\left[\begin{gathered}\ cosx=0, \hfill \\ sinx=\frac{1}{2}\\ \end{gathered} \Leftrightarrow\left[\begin{gathered}\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n , \hfill \\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in Z \\ \end{gathered}$

$OTBET: \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in Z$

Во втором примере у Вас опечатка (5z), поэтому рассматриваю 2 случая (под буквами a и b). При этом первый решаю с метода универсальной тригонометрической подстановки, где $t=tg(\dfrac{x}{2}),\ sinx=\dfrac{2t}{1+t^2},\ cosx=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$:

$2)\ a)\ f(x)=3cosx+4sinx-5x\\f^`(x)=-3sinx+4cosx-5,\ f^`(x)=0\\3sinx-4cosx+5=0\\3\dfrac{2t}{1+t^2}-4\dfrac{1-t^2}{1+t^2}+5=0\\\dfrac{6t-(4-4t^2)+5(1+t^2)}{1+t^2}=0\\\dfrac{9t^2+6t+1}{1+t^2}=0$

$\dfrac{(3t+1)^2}{1+t^2}=0\\t=-\dfrac{1}{3}\\tg(\dfrac{x}{2})=-\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{x}{2} =-arctg(\dfrac{1}{3})+\pi n,\\x=-2arctg(\dfrac{1}{3})+2\pi n,\ n\in Z\\OTBET:\ x=-2arctg(\dfrac{1}{3})+2\pi n,\ n\in Z$

$b)\ f(x)=3cosx+4sinx-5\\f^`(x)=-3sinx+4cosx,\ f^`(x)=0,\\4sinx=3cosx\ |\cdot \dfrac{1}{cosx}\\4tgx=3\\tgx=\dfrac{3}{4}\\x=arctg(\dfrac{3}{4})+\pi n,\ n\in Z\\OTBET:\ arctg(\dfrac{3}{4})+\pi n,\ n\in Z$

Answer 2

1) f '(x) = 2sinx·cosx - cosx = sin2x -sin (π/2 -x)

f '(x) = 0 ⇔  sin2x  = sin (π/2 -x) ⇔ 2x = π/2 -x + 2πn , n∈Z  или  

 2x = π - π/2 +x + 2πk  ,  k ∈Z  ⇔      

  x = π/6 + 2πn/3 ,  n∈Z  или    x = π/2 + 2πk, k ∈Z  

2) f '(x ) = 4cosx - 3sinx  - 5 = 0 ⇔  4cosx - 3sinx = 5 ⇔    

cosx ·4/5 - sinx·3/5 = 1 ;

Пусть  соsα = 4/5 ;  sinα = 3/5  ; α ∈ ( 0 ; π/2) ;      

 cosx·cosα - sinx·sinα = 1  или :

cos(x + α ) = 1 ⇔ x +α = 2πn ; n ∈Z ⇔  x = - arccos 4/5  + 2πn ; n ∈ Z