Question

Докажите, что прямая, проходящая через начало координат, пересекает график функции 2x^2-2x-0.125 в двух различных точках. каким должен быть угловой коэффициент прямой, чтобы расстояние между точками пересечения было наименьшим? чему равно это расстояние?

Answer 1

Прямая, проходящая через начало координат задается уравнением
$y=kx$
где k - угловой коэффициент

$2x^2-2x-0.125 = kx\\2x^2-(2+k)x-0.125=0\\D=4+4k+k^2-4*2*0.125=(k^2+2)^2+1\ \textgreater \ 0$
Значит пересекает в двух точках.
Если пересекает в точках
$(x_1;y_1),(x_2;y_2)\\y_1=kx_1\\y_2=kx_2$
Тогда расстояние равно:
$R=\sqrt{(x_2-x_1)^2+k^2(x_2-x_1)^2}=\sqrt{(k^2+1)(x_2-x_1)^2}$

$2x^2-(2+k)x-0.125=0\\D=(k^2+2)^2+1\\x_1={(2+k)+\sqrt D\over 4}\\x_2={(2+k)-\sqrt D\over4}\\x_1-x_2={\sqrt D\over2}$

$R=\sqrt{(k^2+1)(x_2-x_1)^2}={\sqrt{(k^2+1)D}\over2}={1\over2}\sqrt{(k^2+1)((2+k)^2+1)}=\\={1\over2}\sqrt{(k^2+1)(k^2+4k+5)}={1\over2}\sqrt{k^4+4k^3+6k^2+4k+5}$

Надо найти наименьшее значение подкоренного выражения. Возьмем производную, чтобы найти промежутки возрастания/убывания функции:
$(k^4+4k^3+6k^2+4k+5)'=4k^3+12k^2+12k+4=\\=4(k+1)^3$

Значит убывает при
$x\in(-\infty;-1)$
и возрастает при
$x\in(-1;+\infty)$

Значит наименьшее значение при k=-1
Это значение равно:
${1\over2}\sqrt{k^4+4k^3+6k^2+4k+5}|_{k=-1}={1\over2}\sqrt{1-4+6-4+5}=1$