Question

При делении на 13 одно число дает остаток 10,другое 8 какой остаток получится при делении на 13 произведения этих чисел? я решала так х-одно у-другое r1=10 r2=8 я перемножила остатки, то есть (r1*r2): 13= (8*10): 13=80: 13=6, ост 2 как объяснить, почему мы перемножаем

Answer 1

Если число а делится на 13  с остатком 10, то его можно представить в виде    $a=13q+10$  .
Если число b при делении на 13 даёт остаток 8, то его можно
представить в виде   $b=13p+8$  .
Найдём произведение этих чисел:

$ab=(13q+10)\cdot (13p+8)=13^2\cdot pq+13\cdot 8q+13\cdot 10p+80$

Каждое слагаемое в правой части равенства, кроме последнего, 
делится на 13 нацело, т.к. представляет из себя произведение ,
одним из множителей которого является 13. Поэтому остаток от
деления на 13 числа ab зависит от последнего слагаемого.
Последнее слагаемое - 80 не делится нацело на 13:  80=13·6+2 .
Оно представляет из себя произведение остатков 10·8 и даёт
остаток от деления на 13 число 2.
Поэтому при делении ab на 13 можно проверить только, какой остаток  при делении на 13 даёт произведение остатков  10·8 .
ответ:  остаток 2.

$P.S.\; \; ab=\underbrace {13^2\cdot pq+13\cdot 8q+13\cdot 10p+13\cdot 6}+2=\\\\=13\cdot \underbrace {(13pq+8q+10p+6)}_{A}+2$

  $ab=13\cdot A+2\; \; \; \Rightarrow$  это означает, что ab делится на 13 с остатком 2. И зависит остаток , как видно , от остатка при делении числа 80 на 13,то есть от произведения остатков исходных чисел.
 Итак, остаток от деления ab на 13 равен 2  и  остаток от деления 80 (произведения остатков) на 13 равно 2. Остатки равны, значит можно проверять на делимость только 80 (произведение остатков).