Question

Y=6x^3-3(a+3)x^2+4(a+1)x+1

для каждого числа "b" укажите все значения "а" (а зависит от b), при которых b является точкой указанного вида экстремума данной функции: b - точка минимума

Answer 1

Надо исследовать функцию y, для этого найдем её производную.

$y'=12x^2-6(a+3)x+4(a+1)$

График производной - парабола. Нам нужна точка минимума. Очевидно, что нужно знать точки экстремума. Заметим, что парабола всегда направлена вверх. Если парабола находится выше оси ОХ, точек минимума нет. Если касается, учитывая что в исходной функции 6x^3 (на бесконечности возрастает), то будет минимумом. Это условие D≥0

Далее, пусть $x_1, x_2$ - точки экстремума. На интервале $(x_1, x_2)$ функция будет убывать, то есть минимума своего достигнет в $x_2$.

Найдем же эти точки в общем виде:

$D_1=9(a+3)^2-48(a+1)=9(a^2+6a+9)-48a-48=\\ =9a^2+54a+81-48a-48=9a^2+6a+33;$

Теперь же невооруженным глазом видно, что дискриминант всегда больше 0, но докажем это всё-таки: $9a^2+6a+33=0; D_1=3^2-9*33=9-9*33=9(1-33)=-32*90$ при любых а.

Выразим точки экстремума:

$$x_{1,2}=\frac{3(a+3)\pm\sqrt{9a^2+6a+33} }{12}$

Здесь независимо от значений а точка, где корень взят с "+" будет больше, а значит именно это значение будет точкой минимума.

Теперь подумаем над условием. В таком выражении $$x_2=\frac{3(a+3)+\sqrt{9a^2+6a+33} }{12}$ и будет являться тем самым b. Подбирая любое b, получим выражение через а.

Но нужно ведь выразить а через b. Вернемся к уравнению y'=0

$12x^2-6(a+3)x+4(a+1)=0; 6x^2-3(a+3)x+2(a+1)=0;\\ 6x^2+a(2-3x)+2-9x=0; a(2-3x)=-2-6x^2+9x;$

Выражаем а и получаем:

$$a=\frac{-6x^2+9x-2}{2-3x}$

Ну а если через b, то $$a=\frac{-6b^2+9b-2}{2-3b}$

Но такое соответствие может быть и для точек локальных максимумов. Если значение точки минимума (т.е. то, что с "+" бралось) начать преобразовывать к удобоваримому виду, мы и получим уравнение y'=0, вот начало преобразований:

$3(a+3)+\sqrt{9a^2+6a+33}=12x; \\ \sqrt{9a^2+6a+33}=12x-3(a+3)$

Уравнение вида

$$\sqrt{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \left \{ {{f(x)=g^2(x)} \atop {g(x)\geq 0}} \right.$

Вот как раз для точки минимума условие g(x)≥0 обязательно.

$12x-3(a+3)\geq 0; 3(a+3)\leq 12x; a\leq 4x-3$

$$a=\frac{-2-6x^2+9x}{2-3x}\leq 4x-3$

Вот надо решить это неравенство:

$$\frac{2-6x^2+9x-(2-3x)(4x-3)}{2-3x} \leq 0$

$$\frac{3x^2-4x+2}{2-3x} \leq 0;$

Ищем нули функции $$\frac{3x^2-4x+2}{2-3x};$

В числителе $3x^2-4x+2=0; D_1=(-2)^2-3*2=4-6=-2$

Раз D<0, то все выражение больше нуля из-за коэффициента при старшей степени, можно на него поделить без потерь и получить:

$$\frac{1}{2-3x}\leq 0; \frac{1}{x-\frac{2}{3} }\geq 0; \Rightarrow x\in(\frac{2}{3};+\infty)$

А х здесь это b.

То есть при $b\in(\frac{2}{3};+\infty)$

$$a=\frac{-2-6b^2+9b}{2-3b}$, где b - точка минимума.

А в остальных случаях для b значение a ему не будет соответствовать как то значение, где b - точка минимума.

Как-то. P.S. странное немного задание, может, я чего-то не понял))