Question

1.напишите уравнение касательной к параболе f(x)=2x²-4x+7 в точке с абсциссой x0=4 2.найдите угол между касательными из точки а(0; -6) к кривой f(x)=2x²+2 большое.

Answer 1

Уравнение касательной в общем виде: $y=f'(x_0)(x-x_0)-f(x_0)$

1. 
Значение функции в точке х0 = 4: $f(4)=23$
Производная функции: $f'(x)=(2x^2-4x+7)'=4x-4$
Значение функции в точке х0. $f'(4)=12$

$y=12(x-4)+23=12x-25$ - искомое уравнение касательной.

2.
Нам неизвестна точка касания, поэтому пусть $(x_0;y_0)$ - точка касания.
$f(x_0)=2x_0^2+2;\,\,\,\,\,\,\, f'(x_0)=4x_0$

Тогда уравнение касательной примет вид $y=4x_0\cdot x-2x_0^2+2$
Эта касательная проходит через точку А, следовательно
$-6=4x_0\cdot 0-2x_0^2+2\\ x_0^2=4\\ x_0=\pm 2$

То есть, имеем 2 касательных $y=-8x-6$ и $y=8x-6$

Угол между этими прямыми 

$tg \alpha = \dfrac{k_1-k_2}{1+k_1\cdot k_2} \,\,\,\, \Rightarrow\,\,\, \alpha =arctg\bigg( \dfrac{-8-8}{1-64} \bigg)=arctg\bigg( \dfrac{16}{63} \bigg)$

ответ: $arctg\bigg( \dfrac{16}{63} \bigg)$