Question

Найдите область значений функции y=3cos2x-5sin2x. в ответ запишите сумму наибольшего и наименьшего значения.

Answer 1

Формула, содержащий дополнительный угол.
  $a \sin x \pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2} \sin (x\pm \arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } )$

В нашем случае

$3\cos2x-5\sin 2x=-5\sin2x+3\cos 2x=-\sqrt{34} \sin(2x-\arcsin \frac{3}{ \sqrt{34} } )$

Область значений sin x - [-1;1], то есть

$-1 \leq \sin(2x-\arcsin \frac{3}{ \sqrt{34} } ) \leq 1\,\, \big|\cdot (-\sqrt{34})\\ \\ -\sqrt{34} \leq -\sqrt{34} \sin(2x-\arcsin \frac{3}{ \sqrt{34} } )\leq \sqrt{34}$

Область значений данной функции - $E(y)=\bigg[-\sqrt{34} ;\sqrt{34}\, \bigg]$

Сумма наибольшего и наименьшего значения: $\sqrt{34} -\sqrt{34} =0$