Question

Найти решения дифференциального уравнения первого порядка напишите подробно решение: y-xy'=2*( 1+x²y' ), y(1)=1

Answer 1

$y-xy'=2(1+x^2y')\; \; ,\; \; y(1)=1\\\\y-xy'=2+2x^2y'\\\\2x^2y'+xy'=y-2\\\\y'(2x^2+x)=y-2\\\\ \frac{dy}{dx}= \frac{y-2}{2x^2+x} \\\\\int \frac{dy}{y-2} =\int \frac{dx}{x(2x+1)} \\\\\int \frac{dx}{x(2x+1)}=\int (\frac{A}{x}+\frac{B}{2x+1})dx=[ \frac{1}{x(2x+1)}=\frac{A}{x} + \frac{B}{2x+1} = \frac{A(2x+1)+Bx}{x(2x+1)} \\\\1=A(2x+1)+Bx\; ;\qquad x=0\; \to \; \; 1=A(2\cdot 0+1)=A\\\\x=-\frac{1}{2}\; \; \to \; \; 1=A\cdot 0-\frac{1}{2}B\; ,\; \; B=-2\; \; ]=\\\\=\int (\frac{1}{x}+ \frac{-2}{2x+1} )dx=ln|x|-2\cdot \frac{1}{2}\cdot ln|2x+1|+lnC=\\\\=ln|x|-ln|2x+1|+lnC=ln\Big |\frac{Cx}{2x+1}\Big |$

$ln|y-2|=ln\Big |\frac{Cx}{2x+1}\Big |\\\\y-2=\frac{Cx}{2x+1}\\\\y(1)=1\; \; \to \; \; 1-2=\frac{C}{3}\; ,\; \; C=-3\\\\y=2-\frac{3x}{2x+1}$