sin²x+sin²(2x)=sin²(3x)
cosx < -1/2
Преобразуем первое уравнение с формулы sin²x = (1 - cos(2x))/2.
Получаем
cos(2x) + cos(4x) = 1 + cos(6x)
Воспользумся формулами кратного аргумента
cos(2x) = 2 * cos²x - 1 и cos(3x) = 4*cos³x - 3*cosx
Положив cos(2x) = y , получаем уравнение
у + 2*у² - 1 = 4*у³ - 3*у + 1
4*у³- 2*у² -4*у + 2=0
2*у²*(2*у - 1) - 2*(2*у - 1) = 0
2*(у² - 1) * (2*у - 1) = 0
4 * (у - 1) * (у + 1) * (у - 0,5) = 0
cos(2x) = 1 cos(2x) = -1 cos(2x) = 0,5
2x = 2*π*n 2x = π + 2*π*n 2x = ±π/3 + 2*π*n
x = π * n x = π/2 + π*n x = ±π/6 + π*n
Теперь выберем из полученных ответов те, для которых cos x < -1/2,
воспользовавшись формулой приведения cos(π+x) = -cos x
Получаем х = π + 2*π*n и х = ±5*π/6 + 2*π*n
(для первой серии решений cos x = ±1 , для второй cos x = 0 ,
а для третьей cos x = ± √ 3 / 2 , поэтому вторую серию мы пропускаем,
а из первой и третьей берем половину значений)
Если поезда встречаются через полчаса, то скорость их сближения равна
75 / 0,5 = 150 км/ч. Обозначим скорость товарного поезда через Х. Тогда скорость пассажирского поезда 150 - Х. Получаем уравнение
75 75 5
- =
Х 150 - Х 12
75 * (150 - Х) - 75 * Х 5
=
Х * (150 - Х) 12
12 * (11250 - 150 * Х) = 5 * Х * (150 - Х)
135000 - 1800 * Х = 750 * Х - 5 * Х²
5 * Х² - 2550 * Х + 135000 = 0
Х² - 510 * Х + 27000 = 0
Х₁ = 60 Х₂ = 450 (не подходит)
Итак, скорость товарного поезда 60 км/ч,
а пассажирского 150 - 60 = 90 км/ч.
2) 150 : 3,75 = 40
ответ: 40.