Question

Решите уравнения: 1) найдите абсциссы точек пересечения графиков функций: и 2) найдите корни уравнения:

Answer 1

Чтобы найти точки пересечения, приравняем эти функции.
Надо бы найти область определения, числа под корнями должны быть неотрицательные числа, но это сложно.
Проще будет проверить найденные корни. 
$\sqrt{ \frac{x+1}{x-3} +3tg \frac{ \pi x}{4} } = \sqrt{ \frac{x+4}{3x-8} +3tg \frac{ \pi x}{4} }$
Возведем в квадрат обе части
$\frac{x+1}{x-3} +3tg \frac{ \pi x}{4} =\frac{x+4}{3x-8} +3tg \frac{ \pi x}{4}$
Тангенсы можно вычесть, но они влияют на область определения:
pi*x/4 ≠ pi/2 + pi*k
x ≠ 2 + 4k = 2*(2k + 1)
x не равно числам, которые делятся на 2, но не делятся на 4.
Кроме того, x ≠ 3; x ≠ 8/3
Вычитаем тангенсы, остаются дроби.
(x+1)/(x-3) = (x+4)/(3x-8)
(x+1)/(x-3) - (x+4)/(3x-8) = 0
(x+1)(3x-8) - (x+4)(x-3) = 0
3x^2 - 5x - 8 - x^2 - x + 12 = 0
2x^2 - 6x + 4 = 0
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0
x1 = 1; x2 = 2 - не подходит.
Проверяем x = 1
$\sqrt{ \frac{1+1}{1-3} +3tg \frac{ \pi }{4} } = \sqrt{ \frac{2}{-2} +3*1} = \sqrt{-1+3}= \sqrt{2}$
$\sqrt{ \frac{1+4}{3-8} +3tg \frac{ \pi }{4} } = \sqrt{ \frac{5}{-5} +3*1} = \sqrt{-1+3}= \sqrt{2}$
Оба корня определены и равны друг другу.
ответ: 1

2) $\sqrt{ \frac{x}{x-1} } + \sqrt{ \frac{x-1}{x} } = \frac{3}{ \sqrt{x(x-1)} }$
Возводим в квадрат обе части
$\frac{x}{x-1}+2 \sqrt{ \frac{x}{x-1}* \frac{x-1}{x}} + \frac{x-1}{x} = \frac{9}{x(x-1)}$
$\frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x}+2 = \frac{9}{x(x-1)}$
Приводим к общему знаменателю
$\frac{x^2}{x(x-1)} + \frac{(x-1)^2}{x(x-1)} + \frac{2x(x-1)}{x(x-1)} = \frac{9}{x(x-1)}$
Знаменатели одинаковые, избавляемся от них
x^2 + x^2 - 2x + 1 + 2x^2 - 2x = 9
4x^2 - 4x - 8 = 0
x^2 - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x1 = -1; x2 = 2