(cos a)^8 - (sin a)^8 = [(cos a)^4 - (sin a)^4]*[(cos a)^4 + (sin a)^4] =
= (cos^2 a - sin^2 a)(cos^2 a + sin^2 a)*(cos^4 a + sin^4 a) =
= (cos 2a)*1*(cos^4 a + 2sin^2 a*cos^2 a + sin^4 a - 2sin^2 a*cos^2 a) =
= cos 2a *[ (cos^2 a + sin^2 a)^2 - 0,5*4sin^2 a*cos^2 a ] =
= cos 2a *(1^2 - 1/2*(sin 2a)^2) = cos 2a *(1 - 1/2*sin^2 (2a)) =
= cos 2a - 1/2*cos 2a*sin^2 (2a)
(cos a)^8 - (sin a)^8 = cos 2a - 1/2*cos 2a*sin^2 (2a)
Теперь подставляем. Так как cos a = 1/3, то:
cos 2a = 2cos^2 a - 1 = 2*1/9 - 1 = -7/9
sin^2 (2a) = 1 - cos^2 (2a) = 1 - 49/81 = 32/81
(cos a)^8 - (sin a)^8 = -7/9 - 1/2*(-7/9)*32/81 = -7/9 + 16*7/(9*81) =
= (-7*81+16*7)/729 = -455/729
1) Дано: 3^(5x-2,5)≤√3, приводим к общему основанию: 3^(5x-2,5)≤3^0,5, т.к. основания одинаковые, работаем только с показателями степени и решаем неравенство: 5x-2,5≤0,5 ⇒ x≤3/5 или x≤0,6
2) Дано: (x²-1)*√(4x+7)≤0
а) Сначала выполняем ОДЗ для подкоренного выражения, которое никогда не бывает меньше нуля: 4x+7≥0 ⇒ x≥-7/4 или x≥-1,75
б) Так как всё неравенство меньше либо равно нулю, то это может быть лишь в том случае, когда x^2-1 либо меньше нуля, либо равно нулю. Зная, что произведение двух чисел равно нулю только когда оба множителя равны нулю, решим второе неравенство:
x²-1≤0, x²≤1 ⇒ x≤ 1 и x ≤ -1
в) Объедением наше решение (x≤ 1 и x ≤ -1) с ОДЗ (x≥-1,75) и получаем, что наш икс лежит в промежутке [-1,75;-1]
ответ: x∈[-1,75;-1]
3) Дано: log_2(x-2)+log_2(x)=0,5log_3(9).
Упростим его до вида: log_2(x-2)+log_2(x)=1 (в правой части получилась единица по свойству логарифмов, показатель 9 можно записать в виде 3² и степень переноситься в множитель логарифма, сокращаясь с 0,5 и в итоге получается log_3(3) либо просто один). Теперь приводим уравнение к общему основанию, логарифмируя единицу:
log_2(x-2)+log_2(x) = log_2(2), log_2(x²-2x) = log_2(2); т.к. в ообоих частях у нас получилось одинаковое основание логарифма 2, то работаем только с выражениями под логарифмом:
x²-2x=2, x²-2x-2=0, решаем как квадратное уравнение по дискриминанту: √D = √(4+8) = √12 = 2√3
Корни данного уравнения: x₁ = 2+√3 и x₂ = 2-√3
d=-6,5-(-8)=-6,5+8=1,5.
An=a1+d(n-1)
a5=-8+1,5(5-1)
a5=-8+1,5*4
a5=-8+6
a5=2
Sn=(a1+an/2)*n
S5=(-8+(-2)/2)*5
S5=(-8-2/2)*5
S5=(-10/2)*5
S5=-5*5
S5=-25
ответ: -25