В решении.
Объяснение:
Построить график функции у=(х-2)²-2.
Такой вид уравнения полезен только для определения координат вершины параболы: (х-2)² - смещение вершины вправо по оси Ох на 2 единицы от начала координат, свободный член с= -2 показывает смещение вершины вниз по оси Оу на 2 единицы от начала координат, координаты вершины параболы (2; -2).
Чтобы заполнить таблицу, нужно развернуть уравнение, тогда будет видна и точка пересечения графиком оси Оу:
у=(х-2)²-2
у=х²-4х+4-2
у=х²-4х+2
Парабола пересекает ось Оу в точке у=2.
Координаты точки пересечения (0; 2)
Придаём значения х, вычисляем у, заполняем таблицу.
Таблица:
х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
у 14 7 2 -1 -2 -1 2 7 14
x∈[-1, 1)∪(3, 5]
Объяснение:
Решить систему неравенств:
х²-4х+3<=8
(x-3)(x-1)>0
Первое неравенство. Решить как квадратное уравнение:
х²-4х+3=8
х²-4х+3-8=0
х²-4х-5=0, ищем корни:
х₁,₂=(4±√16+20)/2
х₁,₂=(4±√36)/2
х₁,₂=(4±6)/2
х₁= -2/2
х₁= -1
х₂=10/2
х₂=5
Начертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -1 и х=5. По графику ясно видно, что у<=0 при х от -1 до 5, то есть, решения неравенства находятся в интервале
х∈ [-1, 5], это решение первого неравенства.
Неравенство нестрогое, значения х= -1 и х=5 входят в число решений неравенства, скобки квадратные.
Второе неравенство. Также решим как квадратное уравнение, удобнее определять интервалы решений неравенства:
(x-3)(x-1)>0
х²-х-3х+3>0
х²-4х+3>0, ищем корни:
х₁,₂=(4±√16-12)/2
х₁,₂=(4±√4)/2
х₁,₂=(4±2)/2
х₁=2/2
х₁=1
х₂=6/2
х₂=3
Снова чертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 1 и х=3. По графику ясно видно, что у>0 при х влево и вправо от точек пересечения параболой оси Ох, то есть,
х∈(-∞, 1)∪(3, +∞). Это решение второго неравенства.
Неравенство строгое, скобки круглые.
Теперь нужно найти пересечение решений неравенств, то есть, такое решение, которое подходит и первому, и второму неравенствам.
На числовой оси отмечаем точки -1, 1, 3, 5. Наносим штриховку в соответствии с двумя решениями.
Находим пересечение: x∈[-1, 1)∪(3, 5], то есть решения системы неравенств находятся в интервале при х от -1 до 1, и от 3 до 5.
Значения х= -1 и х=5 входят в число решений системы, скобка квадратная, значения х=1 и х=3 не входят в число решений, скобка круглая.
x²+(a-x)²=3
x²+a²-2ax+x²-3=0
2x²-2ax+a²-3=0
для того чтобы квадратное уравнение имело решения в области действительных чисел, надо чтобы дискриминант был больше равен 0
(-2a)²-4*2*(a²-3)≥0
4a²-8a²+24≥0
24-4a²≥0
a²-6≤0
(a-√6)(a+√6)≤0
a⊂[-√6 √6]