= (2³ + (2¹¹)³)( 2⁶ - 2³⁶+ 2⁶⁶) =
= (2 + 2¹¹)(2² – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ - 2³⁶ + 2⁶⁶) =
= 2(1 + 2¹⁰)(2² – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ - 2³⁶ + 2⁶⁶) =
= 2 (1 + 1024)(4 – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ - 2³⁶+ 2⁶⁶) =
= 2 ∙ 1025 ∙ (4 – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ - 2³⁶+ 2⁶⁶)
Выражение 2⁹ + 2⁹⁹ имеет 4 множителя, один из которых делится на число 41.
1025 : 41 = 25
А если хотя бы один из множителей разделился на 41, то значит и всё выражение 2⁹ + 2⁹⁹ разделится на 41.
a3=a1+2d;
a4=a1+3d;
a2+a3=30;
a4-a2=90;
Составим систему уравнений с двумя неизвестными a1 и d:
(1) a1+d+a1+2d=2a1+3d=30;
(2) a1+3d-(a1+d)=a1+3d-a1-d=2d=90;
Из (2) находим и подставляем его значение в (1):
(2) 2d=90;
d=90/2;
d=45;
(1) 2a1+3*45=30;
2a1+135=30;
2a1=30-135;
2a1=-105;
a1=-105/2=-52,5.
Сумму 8 первых членов арифметической прогрессии находим по формуле:
S8=(2a1+7d)*8/2=(2*(-52,5)+7*45)*4=(-105+315)*4=210*4=840.
ответ: 840.