Question

Два стрелка поочередно стреляют по мишеням до первого попадания. вероятность попадания для первого стрелка равна 0,2, а для второго - 0,3. найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй.

Answer 1

Стрелки стреляют оп очереди до первого попадания, сначала первый затем второй , значит первый сделает сделает больше выстрелов если он первым поразит мишень.

Вероятность что первый стрелок на первом ходу поразит мишень 0.2
Вероятность что первый стрелок на третьем ход поразит мишень (1-0.2)*(1-0.3)*0.2=0.8*0.7*0.2 (первый промахнулся, второй промахнулся, первый попал)
Вероятность что первый стрелок на пятом ходу поразит мишень (1-0.2)*(1-0.3)*(1-0.2)*(1-0.3)*0.2=0.8*0.7*0.8*0.7*0.2
......
Вероятность (первый стрелок сделает больше выстрелов. чем второй равна)=0.2+0.56*0.2+0.56*0.56*0.2+0.56*0.56*0.56*0.2+....

имеем сумму бесконечной убывающей геомметрической прогрессии с первым членом 0.2 и знаменателем 0.56, ||0.56|<1
Сумма равна
$S=b_1*\frac{1}{1-q}$
$S=0.2*\frac{1}{1-0.56}=\frac{1}{5}*\frac{1}{0.44}=\frac{1}{5}*\frac{100}{44}=$
$\frac{20}{44}=\frac{5}{11}$
ответ: $\frac{5}{11}$
======================
Иначе
Первый стрелок выиграет если он попадет с первого раза $p(a_1)=0.2$, либо не попал $q(a_1)=1-0.2=0.8$, тогда должен промахнуться второй $q(a_2)=1-0.=0.7$, после чего вероятность попадания первого стрелка та же самая. 
Откуда А -вероятность что победит первый
$P(A)=p(a_1)+q(a_1)q(a_2)P(A)$, откуда
$P(A)(1-q(a_1)q(a_2)=p(a_1)$
$P(A)=\frac{p(a_1)}{1-q(a_1)q(a_2)}=\frac{0.2}{1-0.8*07}=$
$\frac{0.2}{1-0.56}=\frac{0.2}{0.44}=\frac{20}{44}=\frac{5}{11}$
ответ: 5/11