Question

Исследовать функцию f(x)=x^3-9x^2+24x-12 и построить ее график. напишите решение

Answer 1

$f(x)=x^3-9x^2+24x-12$
1. Область определения функции D(x) = R.
2. Функция непрерывна, точек разрыва нет. 
3. Пересечение с осью Оу: х=0;
$y=0^3-9*0^2+24*0-12=-12$
4. Функция непериодическая. Не является ни четной, ни нечетной, т.к., подставляя в формулу -х, мы получаем выражение
 $f(x)=-x^3-9x^2-24x-12$.
5. Определяем асимптоты.
$y=kx+b \\ k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x \to \infty}(x^2-9x+24- \frac{12}{x} )=\infty \\$
Предел бесконечен, следовательно, асимптот не существует.
6. Найдем производную:
$fд(x)=3x^2-18x+24$
Приравняем ее к нулю, найдем критические точки:
$3x^2-18x+24=0 \\ D/4=9^2-3*24=81-72=9 \\ x= \frac{9^+_-3}{3} \\ x_1=2;x_2=4$
Промежутки возрастания и убывания см. на рисунке.
$y _{max} =f(2)=2^3-9*2^2+24*2-12=8 \\ y _{min} =f(4)=4^3-9*4^2+24*4-12=4 \\$
7. найдем вторую производную:
$f''(x)=6x-18 \\ 6x-18=0 \\ 6x=18 \\ x=3$
Точка перегиба (3; 6)
8. Строим график