Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-3x^2-9x+10 на отрезке ⟦-2; 4⟧.

Answer 1

Дана функция

$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x+10$

чтобы найти наибольшее и наименьшее значение, мы должны найти точки экстремума, т.е. точки максимума и минимума функции. Для этого найдем производную

$\displaystyle f`(x)=(x^3-3x^2-9x+10)`=3x^2-6x-9$

теперь найдем точки в которых производная равна 0

$\displaystyle 3x^2-6x-9=0 3(x^2-2x-3)=0 D=4+12=16=4^2 x_1=3; x_2=-1$

теперь посмотрим что это за точки

__+_______-_________+_______
          -1                     3

Значит (-оо;-1) функция возрастает, (-1;3) убывает; (3;+оо) возрастает
точка х=-1 точка максимума, х=3 точка минимума

обе точки входят в промежуток [-2;4]

Наибольшее значение 
$\displaystyle f(-1)=-1-3+9+10=15$

наименьшее значение
$\displaystyle f(3)=27-27-27+10=-17$

можно конечно проверить значение функции на концах отрезка (но это лишнее, т,к, точки максимума и минимума лежат на этом отрезке)
$\displaystyle f(-2)=-8-12+18+10=8 f(4)=64-48-36+10=-10$

мы убедились что наибольшее значение в точке х=-1; f(-1)=15
наименьшее значение в точке х=3; f(3)= -17