Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 3 единицы от заданной точки А(2; 5; -1) - это сфера радиусом 3 с центром в точке А.
Её уравнение (x - 2)² + (y - 5)² + (z + 1)² = 9.
Эта сфера пересекается плоскостью, параллельной XOZ на расстоянии 4 единицы от неё.
В результате имеем окружность как линию пересечения сферы плоскостью.
Подставим у = 4 в уравнение сферы и получаем уравнение окружности в плоскости, параллельной XOZ:
(x - 2)² + (4 - 5)² + (z + 1)² = 9.
(x - 2)² + 1 + (z + 1)² = 9.
(x - 2)² + (z + 1)² = 8. Это и есть ответ.
3) Даны точки: А1(9; 5; 5), А2(-3; 7; 1) и А3(5; 7; 8).
а) Векторы:
c = А1А2 = (-3-9; 7-5); 1-5) = (-12; 2; -4).
d = А1А3 = (5-9; 7-5; 8-5) = (-4; 2; 3).
б) Длины (модули) векторов.
|c\ = |А1А2| = √((-12)² + 2² + (-4)²) = √(144 + 4 + 16) = √164 = 2√41 .
|d| = |А1А3| = √((-4)² + 2² + 3²) = √(16 + 4 + 9) = √29.
в) c*d = -12*(-4) + 2*2 + (-4)*3 = 48 + 4 - 12 = 40.
д) cos∠(c_d) = 40/(2√41*√29) = 20/√1189 = 0,016821.
∠(c_d) = arc cos(20//√1189) = 1,553975 радиан или 89,036 градуса.
е) cxd = i j k| i j
-12 2 -4| -12 2
-4 2 3| -4 2 = 6i + 16j - 24k + 36j + 8i + 8k =
= 14i + 52j - 16k = (14; 52; -16;).
ж) S = (1/2)√(14² + 52² + 16²) = (1/2)*√(196 + 2704 + 256) =
= (1/2)√3156 = √789.
ответ: х принадлежит интервалу от 0 до 1,2005.