Question

Решить уравнение для каждого параметра а: a^2x+1=|x|+a 15 ))

Answer 1

Рассмотрим функции $f(x)=a^2x+1-a$ и $g(x)=|x|=\displaystyle \left \{ {{x,\,\,\, x \geq 0} \atop {-x,\,\,\, x\ \textless \ 0}} \right.$
Угловые коэффициенты функции g(x) = |x| равны 1 и -1, т.е. f(x) будет параллельным к графику g(x) если угловые коэффициенты совпадают:
1) $a=1$, то $f(x)=x$ и $g(x)=|x|$. График функции f(x) совпадает с графиком функции g(x) при x≥0
Решением уравнения есть все значения х из $x \in [0;+\infty).$
2) Если а=-1, то $f(x)=x+2$ - прямая, которая проходит через точки (0;2) и (-2;0). График функции f(x) = x+2 параллельный графику функции f(x)=|x| при x≥0, f(x) с g(x) пересекаются в одной точке 

Исходя из этого мы можем сделать вывод, что при $a \in (-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$ уравнение имеет одно решение.

При $a \in (-1;1)$ уравнение имеет 2 решения.

Answer 2

$a^2x + 1 = |x| + a \\ \\ 1) \ x \geq 0 \\ \\ a^2x + 1 = x + a \\ \\ a^2x - x = a - 1 \\ \\ x(a^2 - 1) - (a - 1) = 0 \\ \\ x(a - 1)(a + 1) - (a - 1) = 0 \\ \\ x(a - 1)(a + 1 - 1) = 0 \\ \\ ax(a - 1) = 0$
Произведение множителей равно нулю, если любой из множителей равен нулю.
Если a = 0 или 1, то x ∈ [0; +∞).
Если a ≠ 0, a ≠ 1. то x = 0.

$2) \ x \leq 0 \\ \\ a^2x + 1 = -x + a \\ \\ a^2x + x = a - 1 \\ \\ x(a^2 + 1) = a - 1 \\ \\ x = \dfrac{a - 1}{a^2 + 1 } \\ \\ \dfrac{a - 1}{a^2 + 1 } \leq 0 \\ \\ a - 1 \leq 0 \\ \\ a \leq 1$

Итак, если a ≤ 1, то x = (a - 1)/(a² + 1).

ответ: если a = 0, то x ∈ [0; +∞) или x = (a - 1)/(a² + 1); если a = 1, то x ∈ [0; +∞) или x = (a - 1)/(a² + 1); если a ∈ (-∞; 0) U (0; 1), то x = (a - 1)/(a² + 1), или x = 0.