Question

Не решая уравнения: 5x^2+13x-6=0, найдите: а)x1^2+x2^2 b)x1^3+x2^3

Answer 1

Теорема Виетта
 (x1+x2)=(-13/5)
x1x2=(-6/5)

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(-13/5)^2+12/5= 229/25

x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2)=(x1+x2)((x1+x2)^2-3x1x2)=(-13/5)*((-13/5)^2+18/5)= -3367/125

Answer 2

Ипользуем теорему Виета
Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:
x1 + x2 = -b/a; x1*x2 = c/a

В нашем случае для 5x² + 13x - 6 = 0 имеем x1 + x2 = -13/5 и x1*x2 = -6/5

Нам надо вычислить а) x1² + x2². Для этого возведём в квадрат выражение: (x1 + x2)² = x1² + 2*x1*x2 + x2², откуда выразим
x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2*x1*x2
Сумму и произведение корней мы знаем, подставляем:
x1² + x2² = (-13/5)²2 - 2* (-6/5) = 169/25 + 12/5 = (169 + 60)/25 = 229/25

Аналогично ищем б) x1³ + x2³, но для этого возведём в куб выражение:
(x1 + x2)³ = x1³ + 3*x1²*x2 + 3*x1*x2² + x2³, откуда выразим:
x1³ + x2³ = (x1 + x2)³ - 3*x1²*x2 - 3*x1*x2² = (x1 + x2)³ - 3*x1*x2*(x1 + x2)
Подставляем:
x1³ + x2³ = (-13/5)³ - 3*(-6/5)*(-13/5) = -2197/125 - 234/25 =
= -2197/25 - 1170/125 = (-2197 - 1170)/125 = - 3367/125