Question

Найдите все корни уравнения или докажите что их нет x^4+2x^3-3x^2+2x+1=0

Answer 1

X⁴ + 2x³ - 3x² + 2x + 1 = 0
Перед нами возвратное уравнение.
Разделим его на x² (x ≠ 0):
x² + 2x - 3 + 2/x + 1/x² = 0
x² + 1/x² + 2(1/x + x) - 3 = 0
x² + 2 + 1/x² + 2(1/x + x) - 5 = 0
(x + 1/x)² + 2(1/x + x) - 5 = 0 
Пусть t = (x + 1/x).
t² + 2t - 5 = 0
D = 4 + 5·4 = 24 = (2√6)²
$t_1 = \dfrac{-2 + 2 \sqrt{6} }{2} = \sqrt{6} - 1 \\ \\ t_2 = \dfrac{-2 - 2 \sqrt{6} }{2} = -\sqrt{6} - 1$
Обратная замена:
$1)\ x + \dfrac{1}{x} = -\sqrt{6} - 1 \\ \\ x^2 + (\sqrt{6} +1)x + 1 = 0 \\ D = ( \sqrt{6} +1)^2 - 4 = 6 + 2 \sqrt{6} + 1 - 4 = 3 + 2 \sqrt{6} \\ \\ x_1 = \dfrac{- \sqrt{6} - 1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{6} } }{2} \\ \\ x_2 = \dfrac{- \sqrt{6} - 1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{6} } }{2}$
$2) \ x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{6} - 1 \\ \\ x^2- ( \sqrt{6} - 1)x + 1 = 0 \\ D = ( \sqrt{6} - 1)^2 - 4 = 6 + 2 \sqrt{6} + 1 - 4 = 3 - 2 \sqrt{6} \\ \\ D \ \textless \ 0$
ответ: $\dfrac{- \sqrt{6} - 1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{6} } }{2}; \ \dfrac{- \sqrt{6} - 1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{6} } }{2}.$

Answer 2

Это так называемое возвратное уравнение. Вот один из решения такой задачи. Преобразуем: 

$(x^4+2x^2+1)+2x(x^2+1)-5x^2=0\ (x^2+1)^2+2x(x^2+1)-5x^2=0$

обозначим $x^2+1=p; x=q$.

Получаем $p^2+2pq-5q^2=0; (p+q)^2-6q^2=0;$

$(p+q-q\sqrt{6})(p+q+q\sqrt{6})=0;$

1-й случай: 

$p+q-q\sqrt{6}=0; x^2+x(1-\sqrt{6})+1=0; D=1-2\sqrt{6}+6-4\ \textless \ 0$

- корней нет

2-й случай:

$p+q+q\sqrt{6}=0; x^2+x(1+\sqrt{6})x+1=0; D=3+2\sqrt{6}\ \textgreater \ 0;$

$x_{1;2}=\frac{-1-\sqrt{6}\pm\sqrt{3+2\sqrt{6}}}{2}$