Question

Доказать, что если делится на 3, то и натуральные числа m и n тоже делятся на 3.

Answer 1

Пусть хотя бы одно из чисел не делится на 3. Тогда

$n = 3p+k,\qquad k=1,2\\ m^2+(3p+k)^2 = 3q\\ m^2+k^2 = 3(q-3p^2-2pk)$

Заметим, что k^2 = 1 или k^2 = 4, но в любом случае k^2=3l-2, где l=1 или l=2

$m^2 = 3(q-3p^2-2pk-l)+2$

Мы получили, что квадрат натурального m дает остаток 2 при делении на 3. Но это невозможно, что легко проверить. Очевидно, что m не делится на 3, тогда проверяем 2 варианта

$m = 3z+1\\ m^2=3(3z^2+2z)+1\\\\ m=3z+2\\ m^2=3(3z^2+6z+1)+1$
Как видим, квадрат целого числа дает при делении на 3 только остаток 1. Ну или 0. Получили противоречие, значит исходное предположение неверно