Question

При каком натуральном числе n, , если , а d-натуральный делитель числа n.

Answer 1

Предположим что
$n=6^x$
Тогда
$P_n=1\cdot 6\cdot 6^2 \cdots 6^{x-1}\cdot 6^x =6^{1+2+3+\dots+x}=6^\frac{(1+x)x}{2}=6^{1575};\\ \frac{(1+x)x}{2}=1575;\\ x^2+x-3150=0;\\ D=1+4\cdot 3150=12601,\,x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{12601}}{2},\\ x\ \textgreater \ 0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{12601}}{2}.$
Тогда n может иметь только вид:
$n=2^x\cdot 3^y$
Но тогда
$\Rightarrow P_n=1\cdot 2\cdot 2^2 \cdots 2^{x-1}\cdot 2^x\cdot 3\cdot 3^2 \cdots 3^{y-1}\cdot 3^y\cdot 6\cdot 6^2 \cdots 6^{\min\{x,y\}}\times\\ \times 12\cdot 12^2 \cdots 12^{\min\{x-1,y\}}\cdot 18\cdot 18^2 \cdots 18^{\min\{x,y-1\}}\cdots=6^{1575}$
А это значит, что такого натурального n не существует.