Question

Решить дифференциальное уравнение (x+y^2) * y' = y - 1

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение можно записать в виде:
  $\displaystyle x'- \frac{x}{y-1} = \frac{y^2}{y-1}$
Полученное последнее диф. уравнение - линейное относительно х и х'.

Метод Лагранжа.
1) Найдем решение соответствующего однородного уравнения:
$x'- \dfrac{x}{y-1} =0$
Это уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle dx= \frac{xdy}{y-1} ;\Rightarrow\,\, \frac{dx}{x} = \frac{dy}{y-1} \Rightarrow\,\, \int\limits \frac{dx}{x} = \int\limits \frac{dy}{y-1} \\ \\ \ln |x|=\ln|y-1|+\ln |C|\Rightarrow\,\,\, x=C(y-1)$

2) Примем константу за функцию, т.е. $C=C(y)$
$x=C(y)(y-1)$

Дифференцируя по правилу произведения, получим
 $x'=C'(y)(y-1)+C(y)$

Подставим все это в исходное уравнение, после упрощений имеем

$C'(y)= \dfrac{y^2}{(y-1)^2} \Rightarrow\,\, C(y)=y- \dfrac{1}{y-1}+2\ln|y-1|+C_1$

Получаем общее решение:

$\boxed{x=(y-1)\bigg(y- \dfrac{1}{y-1}+2\ln|y-1|+C_1 \bigg)}$