1. Запишите выражение для Δy = f(х0 + Δх) − f(х) и найдите область определения функции Δу, если: a) f(x) = arcsin x, х0 = 1/2; б) f(x) = arccos x, х0 = 0; в) f(x) = ln x, х0 = 2; г) f(x) = sin x, х0 = 2π. 2. Пользуясь определением производной, найдите производную функции: а) y = х в точке х = 1; б) y = х2 в точке х = х0; в) y = в точке х = 4; г) y = х|х| в точке х = 0; д) f(х) = (1 − cos x)/x при x ≠ 0, 0 при x = 0 в точке х = 0. 3. Функция y = f(х) имеет производную в точке а. Вычислите пределы последовательностей: a) n(f(a + 1/n) − f/(a)); б) n(f(a) − f(a − 2/n)); в) n(f(a − 1/n) − f(a + 1/n)); г) n(f(a + 1/n) + f(a + 2/n) + … + f(a + k/n) − kf(a)). 4. Уравнения прямолинейного движения двух точек имеют вид: а) s1 = t, s2 = t2 (t ≥ 0); 6) s1 = t2, s2 = t3 (t ≥ 0); в) s1 = ln t, s2 = (t ≥ 1) (t − время, s1 и s2 − расстояния, пройденные первой и второй точками за время t). Сравните мгновенные скорости этих двух точек, а также их средние скорости на отрезках времени 0 ≤ t ≤ 1 и 1 ≤ t ≤ 2 для случаев а) и б) и на отрезках 1 ≤ t ≤ 4 и 1 ≤ t ≤ 25 для случая в). 5. Составьте уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0, если: а) f(x) = sin x, x0 = 0; б) f(x) = x2, x0 = 1; в) f(x) = , x0 = 0; г) f(x) = arctg x, x0 = 1. 6. Найдите точку пересечения касательных к графику функции y = f(x) в точках с абсциссами x1 и x2, если: а) f(x) = cos x, x1 = π/6, x2 = π/2; б) f(x) = ex, x1 = 0, x2 = 1; в) f(x) = arcsin x, x1 =0, x2 = 1/2.
1. a) |x - 1| + 2|x - 3| = 5 - x Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x, |x - 3| = 3 - x 1 - x + 2(3 - x) = 5 - x 1 - x + 6 - 2x = 5 - x 1 + 6 - 5 = x + 2x - x 2x = 2; x = 1 - не подходит, потому что x < 1 Если x ∈ [1; 3), то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = 3 - x x - 1 + 2(3 - x) = 5 - x x - 1 + 6 - 2x = 5 - x 5 - x = 5 - x Это верно при любом x ∈ [1; 3) Если x >= 3, то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = x - 3 x - 1 + 2(x - 3) = 5 - x x - 1 + 2x - 6 = 5 - x 3x + x = 5 + 6 + 1 4x = 12 x = 3 ответ: x ∈ [1; 3]
