Question

Решите уравнение укажите корни, принадлежащие отрезку [ ]

Answer 1

$3sin^2x-2=sinxcosx-2cos^2x \\3sin^2x-2=sinxcosx-2cos^2x \\3sin^2x-2=sinxcosx-2+2sin^2x \\3sin^2x=sinxcosx+2sin^2x \\sin^2x=sinxcosx \\sin^2x-sinxcosx=0 \\sinx(sinx-cosx)=0 \\sinx=0 \\x_1=\pi n \\sinx-cosx=0 \\sinx=cosx \\tgx=1 \\x_2= \frac{\pi}{4}+\pi n$
ищем корни, входящие в отрезок $[-\pi; \frac{3\pi}{2} ]$
$x=\pi n \\n=0;\ x=0 \in [-\pi; \frac{3\pi}{2} ] \\n=1;\ x=\pi \in [-\pi; \frac{3\pi}{2} ] \\n=2;\ x=2\pi \notin [-\pi; \frac{3\pi}{2} ] \\n=-1;\ x=-\pi \in [-\pi; \frac{3\pi}{2} ] \\n=-2;\ x=-2\pi \notin [-\pi; \frac{3\pi}{2} ] \\x= \frac{\pi}{4}+\pi n \\n=0;\ x= \frac{\pi}{4} \in [-\pi; \frac{3\pi}{2} ] \\n=1;\ x= \frac{\pi}{4} +\pi= \frac{5\pi}{4} \in [-\pi; \frac{3\pi}{2} ] \\n=2;\ x= \frac{\pi}{4} +2\pi= \frac{9\pi}{4} \notin [-\pi; \frac{3\pi}{2} ]$
$n=-1;\ x= \frac{\pi}{4} -\pi=- \frac{3\pi}{4} \in [-\pi; \frac{3\pi}{2} ] \\n=-2;\ x= \frac{\pi}{4} -2\pi=- \frac{7\pi}{4} \notin [-\pi; \frac{3\pi}{2} ]$
в итоге получим, что уравнение имеет 6 корней на данном отрезке.
ответ: $0;\ \pi;\ -\pi;\ \frac{\pi}{4};\ \frac{5\pi}{4};\ - \frac{3\pi}{4}$